Yo no tengo ese libro, así que me perdone si no me abordar los detalles de Stein argumento. Afortunadamente, usted ha sido lo suficientemente detallada en la descripción de su problema que creo entender de qué se trata. Aquí está una relativa y simplificado juguete problema que creo que capta la esencia de lo que están pidiendo. Tal vez ver a esta explicado ayudará.
Arreglar una función de $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ y se supone que es analítica en todas partes.
Para $\theta \geq 0$, definir la ruta de $\gamma_{\theta}: [0,1] \to \mathbb{C}$ por
$$
\gamma_{\theta}(t) = t e^{i\theta}, \qquad t \in [0,1],
$$
(Lo $\gamma_{\theta}$ describe una línea recta y velocidad constante ruta de acceso en el plano de$(0,0)$$e^{i \theta} = (\cos \theta, \sin \theta)$.)
Creo que la esencia de su pregunta está contenida en la comprensión de cómo, bajo estas circunstancias, es cierto que
$$
\lim_{\theta \to 0^{+}} \int_{\gamma_{\theta}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_0} f(z) \, dz.
$$
No es necesario pensar pensar acerca de la convergencia uniforme de una familia de trayectorias aquí--- que sin duda puede hacer sentido de este como un concepto, pero no es necesario hacerlo, y si Stein no lo haya hecho en ese momento en su texto, puede ser una distracción para hacerlo. Todo lo que usted necesita es el uniforme de la continuidad de la $f$ en conjuntos compactos.
La idea es que si $\theta$ es muy pequeña la integral de $f$ sobre el segmento de línea $\gamma_{\theta}$ implica sólo los valores de $f$ en puntos que están muy cerca de los valores de $f$ en puntos sobre el segmento de línea $\gamma_0$. Desde el uniforme de la continuidad de $f$ (en la cerrada de la unidad de disco, por ejemplo, o en realidad cualquier conjunto compacto que contiene un poco de cuña alrededor de $\gamma_0$), si se nos da $\epsilon > 0$, podemos asegurar que la diferencia entre un valor de $f$ en cualquier punto en $\gamma_{\theta}$, y el correspondiente valor de $f$ en el punto más cercano de $\gamma_0$, es menor que $\epsilon$ tomando la línea segmentos lo suficientemente cerca juntos. Esto significa que las dos integrales será en la mayoría de las $\epsilon$ si $\theta$ es lo suficientemente pequeño, por lo que el límite es lo que es. Esto es sólo la intuición.
Para ser más específicos: para cualquier $\theta$,
$$
\int_{\gamma_{\theta}} f(z) \, dz = \int_0^1 f(\gamma_{\theta}(t)) e^{i \theta} \, dt
$$
Así
$$
\int_{\gamma_{\theta}} f(z) \, dz - \int_{\gamma_0} f(z) \, dz = \int_0^1 (f(\gamma_{\theta}(t)) e^{i \theta} - f(\gamma_0(t)) ) \, dt
$$
Llegar a mitad de camino entre la intuición y la prueba ahora: si $\theta$ es muy pequeña, $e^{i\theta}$ va a ser muy cerca de $1$, por lo que esta integrando va a estar muy cerca de $f(\gamma_{\theta}(t)) - f(\gamma_0(t))$, que para cualquier $t$ es una diferencia de valores de $f$ en puntos inferior a la de $\theta$ aparte (los dos puntos se encuentran en un arco circular de longitud $t\theta \leq \theta$). Desde $f$ es uniformemente continua en el cerrado de la unidad de disco, dado $\epsilon$, por la elección de $\theta$ suficientemente pequeño que puede asegurar el integrando no es mayor que $\epsilon$, y, por tanto, la integral no ser. Esto es, básicamente, una prueba, con sólo algunos detalles que faltan.
La prueba: para cualquier $\theta$
$$
\begin{align}
\left|\int_{\gamma_{\theta}} f(z) \, dz - \int_{\gamma_0} f(z) \, dz\right| & = \left|\int_0^1 (f(\gamma_{\theta}(t)) e^{i \theta} - f(\gamma_0(t)) ) \, dt \right| \\
& \leq \int_0^1 |f(\gamma_{\theta}(t)) e^{i \theta} - f(\gamma_0(t)) | dt \\
& \leq \int_0^1 |f(\gamma_{\theta}(t)) e^{i \theta} - f(\gamma_0(t)) e^{i\theta} + f(\gamma_0(t)) e^{i\theta} - f(\gamma_0(t)) | dt \\
& \leq \int_0^1 (|f(\gamma_{\theta}(t)) e^{i \theta} - f(\gamma_0(t)) e^{i\theta}| + |f(\gamma_0(t)) e^{i\theta} - f(\gamma_0(t)) |) dt \\
& \leq \int_0^1 (|f(\gamma_{\theta}(t)) - f(\gamma_0(t))| + |f(\gamma_0(t))| |e^{i\theta} - 1|) dt.
\end{align}
$$
Por tanto, y dado $\epsilon > 0$, el uso de la continuidad de $f(\gamma_0(t))$ en el conjunto compacto $[0,1]$ encontrar $M > 0$ con la propiedad de que $|f(\gamma_0(t))| < M$ todos los $t \in [0,1]$, y el uso de la continuidad de $x \mapsto e^{ix}$ encontrar $\delta_1$ con la propiedad de que $|e^{i\theta} - 1| < \epsilon/(2M)$ siempre $0 < \theta < \delta_1$. De ello se deduce que siempre que $0 < \theta < \delta_1$ ha $|f(\gamma_0(t))| |e^{i\theta} - 1| < \epsilon/2$ todos los $t \in [0,1]$.
Utilizar el uniforme de la continuidad de la $f$ en el cerrado de la unidad de disco para encontrar $\delta_2$ con la propiedad de que $|f(z) - f(w)| < \epsilon/2$ siempre $|z - w| < \delta_2$. De ello se sigue que si $0 < \theta < \delta_2$, uno ha $|\gamma_{\theta}(t) - \gamma_0(t)| \leq t \theta \leq \theta < \delta_2$ todos los $t \in [0,1]$ y, por tanto, por la elección de $\delta_2$ ha $|f(\gamma_{\theta}(t)) - f(\gamma_0(t))| < \epsilon/2$ todos los $t \in [0,1]$.
Llegar a la conclusión de que siempre que $0 < \theta < \min(\delta_1, \delta_2)$ que el integrando de arriba es en la mayoría de las $\epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$ y, por tanto, la integral de sí mismo es en la mayoría de los $\epsilon$ también. Esta muestra a partir de la definición que $\lim_{t \to 0^{+}} \int_{\gamma_{\theta}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_0} f(z) \, dz$.
Tenga en cuenta que sólo el uniforme de la continuidad de la $f$ es utilizado en la fabricación de este trabajo. (La analiticidad se utiliza cuando se desea evaluar realmente los integrales.)
De todos modos, exactamente lo mismo que está sucediendo en cosas como el "ojo de la cerradura de argumento". La idea general es que el uniforme de la continuidad de la $f$ en un barrio de una curva de $C$ se asegurará de que el contorno de las integrales de $f$ más de lo suficientemente buenas curvas que "enfoque" $C$, convergen a la integral de contorno de $f$ $C$ sí. Los libros de no molestar a su vez esta idea general en general, el teorema debido a que los contornos se utiliza en la mayoría de los argumentos son bastante simples (por ejemplo, segmentos de líneas, arcos de círculos) que ningún general teorema es necesario.
