Estaba buscando ejemplos de funciones de valor real $f$ tal que $f(x)+f(-x)=f(x)f(-x)$ . Preferiblemente, me gustaría que fueran continuos, diferenciables, etc.
Por supuesto, existen las funciones constantes $f(x)=0$ y $f(x)=2$ . También demostré que $1+b^x$ , donde $b>0$ es otra solución. ¿Hay otras buenas?
A partir de su solución, he pensado en considerar el cambio de variable $f(x) = 1 + g(x)$ La ecuación funcional se convierte entonces en
$$ g(x) g(-x) = 1 $$
y ahora todo el espacio de soluciones se hace evidente: se puede elegir $g(x)$ para ser cualquier función en los reales positivos que no es en ningún lugar cero, y entonces los valores en los reales negativos son determinados por la ecuación funcional. Y en el cero, se puede elegir $g(0) = 1$ o $g(0) = -1$ .
La solución de Hurkyl es bonita, pero el cambio de variables oculta la propiedad inherente de la órbita cerrada, que es la parte crucial del problema.
Obsérvese que la ecuación funcional sólo implica $x$ y $ -x$ . En particular, si $h(x) = -x$ entonces la órbita de $x \neq 0$ es $\{x, -x\}$ y la órbita de $0$ es $\{0\}$ . Por lo tanto, la función está definida únicamente por la parte no negativa.
Para $x = 0$ tenemos $2 f(0) = f(0)^2 $ , lo que significa que $ f(0) = 0$ o $2$ .
Para $x \neq 0$ tenemos $ f(-x) = \frac{ f(x) } { f(x) - 1}$ , si $ f(x) \neq 1$ .
Tenga en cuenta que si $ f(x) = 1$ entonces no hay ningún valor posible para $ f(-x)$ .
Esta es una condición necesaria y suficiente.
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