Suave estructura en el espacio topológico

Question

Considere la posibilidad de un espacio topológico $X$. Lee en la Introducción a la Suave Colectores escribió que es imposible introducir una suave estructura topológica del colector basado sólo en la topología (es decir, conservables mi homeomorphisms), ya que el cuadrado y el círculo son homeomórficos, pero la plaza no queremos ser suave.

De todos modos, cuando la introducción de topológico/suave colectores uno hace una estricta conexión con $\mathbb R^n$. Parece que es muy necesario este espacio para introducir la noción de suavidad en otros espacios, estoy en lo cierto? Es decir, podemos formular la suavidad sin hablar de $\mathbb R^n$ a todos? Si sí, ¿qué es necesario tener: dimensión finita? las métricas? topología?

Answer 1

En lugar de introducir una suave estructura en el colector $X$ mediante la especificación de una suave estructura con una "suave" atlas, usted podría intentar en lugar de especificar el conjunto de "suavizar" las funciones de $X\to\mathbb{R}$. Por ejemplo, el conjunto de "suave" de las funciones para un pacto submanifold es la restricción de la suave funciones de la incrustación de colector a la submanifold. El problema es que esto también funciona para los no-suave colectores como el cuadrado, por lo que ahora se necesita criterios de cómo distinguir no liso colectores como la plaza de suave colectores como el círculo, con base en este conjunto de "suavizar" las funciones de $X\to\mathbb{R}$. E incluso antes de eso, usted necesita los criterios que este tipo de "arbitrario" el conjunto de las funciones lisas debe satisfacer.

Podría ser divertido tratando de conseguir un enfoque para el trabajo. Pero, al menos para suavizar los colectores, analítica múltiples y complejos colectores, el enfoque con el atlas es preferible. Para diferenciable colectores, puede haber preguntas en las que enfoques como el esbozado por encima de agregar valor.

Answer 2

La idea básica de la geometría diferencial es que se pueden diferenciar las funciones en los espacios que usted considere. "Suavidad" es simplemente el concepto de que hay funciones que pueden ser diferenciados infinitamente a menudo.

La más simple de las funciones son curvas aka caminos, es decir, las funciones de los reales (o un intervalo) para el modelo de espacio de $E$ considerar: $$ \gamma: [a, b] \a E $$ Con el fin de definir un diferencial quotent para una curva que usted necesita para ser capaz de escribir $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (\gamma(t+h) - \gamma(t)) $$ Definir un camino para ser diferenciable si todos estos límites existen.

En orden para que esto tenga sentido, usted necesita tener la suma y la multiplicación escalar en $E$ y una topología de modo que las operaciones algebraicas son continuas. Esto significa que $E$ tiene que ser un espacio vectorial topológico. Los colectores se pueden definir de local homeomorphisms a su modelo de espacio de $E$.

Si el uso de espacios de Hilbert, se obtiene Hilbert colectores, lo mismo es cierto para Banach colectores y colectores de Frechet. En dimensiones finitas, cada espacio vectorial topológico es algebraicamente isomorph a $\mathbb{R}^n$ y isomorph como espacio vectorial topológico a $\mathbb{R}^n$ con su canónica de la topología, por lo que no hay mucha elección.

A continuación, puede definir liso de los conductos de las rutas que son infinitamente diferenciable a menudo, y definir suave mapas de colectores para ser mapas mapa suave rutas de acceso a vías lisas.

Esto se traduce en una definición de lisa/geometría diferencial en infinitas dimensiones.

Para más detalles, véase el libro:

• Krigl, Michor: "El Cómodo Ajuste de Análisis Global"

En esta configuración, se caracterizan suave mapas de colectores a través de las imágenes de lisa caminos.

Es posible generalizar esta a la más general de las funciones de vías lisas y conseguir, por ejemplo, diffeological espacios.