Exterior de la medida de una unión de 2 subconjuntos disjuntos medibles conjuntos de números reales.

Question

Cada conjunto se mencionó es un subconjunto de los números reales.

Deje $m^*(C)$ denotar el exterior de la medida de un conjunto $C$. Deje $E$ $any$ $A,B$ ser medibles, de distintos conjuntos. Estoy tratando de mostrar que $$m^*(E\cap (A\cup B))=m^*(E\cap A)+m^*(E\cap B).$$

Prueba: ($\le$) sigue por los contables subadditivity exterior de la medida desde $$E\cap (A\cup B)= (E\cap A)\cup (E\cap B).$$

Aquí es donde me quedo atascado:

($\ge$) Mis intentos han reducido a algo de la forma:

1. Hay delimitada abrir conjuntos de $G_1, G_2$ con $E\cap a, E\cap B$, respectively, such that $$m(G_1)\ge m^*(E\cap a),\quad m(G_2)\ge m^*(E\cap B).$$ Hence $$m^*(E\cap A)+m^*(E\cap B)\le m(G_1)+m(G_2).$$ Y me gustaría extender esta desigualdad a $m(G_1\cup G_2)$ pero sabemos que eso no es cierto, especialmente desde que los conjuntos de $G_1, G_2$ puede incluso no ser disjuntas.

2. Traté también de la Vallée-Poussin Criterio: Vamos a $\epsilon>0$. Desde $A, B$ son medibles, no están cerrados los subconjuntos $F_1, F_2$ $A,B$ respectivamente, tales que $m^*(A\cap E - F_1)+ m^*(B\cap E-F_2)<\epsilon$. Even if I could show, $$|m^*(E\cap (A\cup B)-[(F_1\copa F_2))+ m^*(A\cap E - F_1)+ m^*(B\cap E-F_2)]|<\epsilon.$$

   No estoy seguro de lo que eso podría significar.

Lo que yo sé:

• La medida sólo ha sido definido para delimitada conjuntos.

• Un conjunto acotado $A$ $measurable$ si su exterior e interior y las medidas de son iguales; si es así, la medida de la $A$ es el valor común de estos medidas.

• Diferencias contables sindicatos, contables intersecciones de medir los conjuntos son medibles.

• La unión de un conjunto de pares distintos conjuntos medibles es mensurables, con la medida de la unión igual a la suma de la las medidas de los conjuntos de la unión.

• Interior y exterior de las medidas son monótonas crecientes funciones.

• Contables subadditivity para el exterior de la medida, la cual establece que si $A$ es un contable o unión finita de conjuntos de $A_i$ $m^*(A)\le \sum m^*(A_i)$.

• De la Vallée-Poussin Criterio, que establece que un conjunto acotado $A$ es medible si para cada a $\epsilon >0$ no es un conjunto cerrado $B\subset A$ tal que $m^*(A-B)< \epsilon$.

• Para cualquier conjunto acotado $B$, siempre puedo encontrar un conjunto $C$ que es un contables intersección de bloques abiertos para que $B \subset C$ y $m^*(B)=m^*(C)$.

• Si $A$ $B$ son conjuntos medibles, entonces $m(A\cup B) + m(A\cap B) = m(A) + m(B)$.

• Si $A$ es limitado y $I$ es un intervalo abierto que contiene a $E$, luego $m^*(E) + m_*(I-E) = m(I)$.

Answer 1

Poner $F=E\cap (A\cup B)$ a continuación, desde la $A$ $m^*$medible, tenemos que $$ m^*(F)= m^*(F\cap a) + m^*(F\cap a^c) = m^*(E\cap a)+m^*(E\cap B) $$ desde $A\cap B =\emptyset$

Answer 2

Empezamos con un poco Lema:

Lema. Deje $E\subseteq \Bbb R$. Si $H\supseteq E$ $G_\delta$ (contables intersección de abrir sets) tales que $$m(H)=m^\ast(E),$$ a continuación, para cada $C\subseteq\Bbb R$ $$m^\ast(H\cap C)=m^\ast(E\cap C).$$

Prueba. Deje $C\subseteq\Bbb R$. En la siguiente el superíndice $^c$ significa que se complementan. $$\begin{align*} m^\ast(H\cap C) &\leq m^\ast(H\cap C\cap E\cap C)+m^\ast((H\cap C)\setminus (E\cap C))\\ &= m^\ast(E\cap C) + m^\ast((H\cap C)\cap (E\cap C)^c)\\ &= m^\ast(E\cap C) + m^\ast(C\cap (H\setminus E))\\ &\leq m^\ast(E\cap C) + m^\ast(H\setminus E)\\ &= m^\ast(E\cap C) \end{align*}$$ La desigualdad de $m^\ast(H\cap C)\geq m^\ast(E\cap C)$ viene libre por la monotonía de la medida exterior desde $H\supseteq E$.

La prueba de $m^\ast(E\cap (A\cup B))\geq m^\ast(E\cap A)+m^\ast(E\cap B)$.

Pick $H\supseteq E$ $G_\delta$ establecido, de modo que $m(H)=m^\ast(E)$. Entonces $$\begin{align*} m^\ast(E\cap (A\cup B)) &= m^\ast(H\cap (A\cup B)) &&\text{by the Lemma}\\ &= m(H\cap A) + m(H\cap B) &&\text{(%#%#%)}\\ &\geq m^\ast(E\cap A) + m^\ast(E\cap B) &&\text{by the monotony of the outer measure.} \end{align*}$$ ($^\ast$) porque aquí estamos tratando con conjuntos medibles (finito de medida).

De la observación. Aviso que ese $^\ast$ $G_\delta$ siempre existen incluso si $H$ es ilimitado.