Alterando la desigualdad (a la de Cauchy-Schwarz?)

Question

Cómo probar que:

$$ \left(\sum_{i=1}^n w_i n_i \sqrt{\dfrac{y_i(1-y_i)}{n_i+1}}\right)^2 \leq \dfrac{\left(\sum_{i=1}^n w_i n_i y_i\right)\left(\sum_{i=1}^n w_i n_i (1-y_i)\right)}{(\sum_{i=1}^n w_i n_i+1)} $$ donde $w_i\geq0$, $\sum_{i=1}^n w_i=1$, $n_i>0$ y $y_i \in (0,1)$$i=1,\dots,n$,$n>1$?

He comprobado numéricamente que se debe mantener, pero yo no puede encontrar una manera elegante de mostrar.

La fórmula viene de una desigualdad para la varianza de una combinación convexa de beta-variables de distribución.

Answer 1

Considerar algunas variables aleatorias $X$ $Y$ tal que, para cada $i$, $(X,Y)=(n_iy_i,n_i(1-y_i))$ con una probabilidad de $w_i$. El OP le pide una prueba de una desigualdad equivalente a $$ E(g(X,Y))\le g(E(X),E(Y)), $$ donde, para cada no negativo $x$$y$, $$ g(x,y)=\sqrt{\frac{xy}{x+y+1}}. $$ El segundo parcial derivados $\partial^2_{xx}g$ $\partial^2_{yy}g$ son negativos y el determinante de la matriz Hessiana de $g$$(xy+x+y)/(4xy(x+y+1)^3)$, lo cual es positivo. Por lo tanto ambos valores propios de la matriz Hessiana es negativo, la función de $g$ es cóncava en su dominio, y la desigualdad de Jensen se obtiene el resultado.