Si entiendo tu pregunta correctamente, usted se está preguntando si hay o no hay una caracterización de los A-lineal functors C-->Proj(a), que son equivalentes a los desmemoriados functor Rep(G)-->Proj(A), donde G es un grupo afín esquema de más de Una y Rep(G) es la categoría de representaciones de G cuyo subyacente de Un módulo es finitely generado proyectiva.
En este caso las categorías Rep(G) no necesitan ser abelian porque Proj(A) es, en general, no abelian, por lo que el clásico Tannakian formalismo probablemente no va a ayudar. Sin embargo, como en el caso clásico podemos reformular el problema en términos de comodules y álgebras de Hopf: Un grupo afín esquema de G sobre a es de la forma de la Especificación(H) para algunos álgebra de Hopf H, y una representación de G es el mismo que el H-comodule.
La clásica caracterización de Deligne (que se encuentra en "Categorías Tannakiennes", Grothendieck Festschrift Vol. II) se divide en las siguientes partes:
1) Todos los fieles functor exacto w:C-->Vect(k) es equivalente a un olvidadizo functor Utilizando(L(w))-->Vect(k) para algún k-coalgebra L(w).
2) Si la categoría C tiene un monoidal simétrica estructura y si w es un fuerte monoidal functor, entonces L(w) es una bialgebra.
3) Si C es rígido, entonces L(w) es un álgebra de Hopf.
Por algún tiempo he estado trabajando en una generalización del paso 1) para el caso arbitraria de los anillos, donde nos reemplazar Vect(k) por Proj(Una). Recientemente he subido un papel (aquí), que contiene el siguiente resultado (ver Corolario 9.8):
Vamos a ser C un A-lineal de la categoría (con finito directa sumas) y w:C-->A-Mod-lineal functor cuya imagen está contenida en Proj(Una). Decimos que un diagrama F:D-->C es w-rígido si el colimit de wF:D-->A-Mod es finitely generado y proyectivo. Si
a) w refleja isomorphisms,
b) la categoría de el(w) de los elementos de w es cofiltered (equivalentemente, w es plana),
c) C ha colimits de w-rígido diagramas y w conserva,
a continuación, hay un plano coalgebra L(w) tal que w:C-->Proj(A) es equivalente a la olvidadizo functor Utilizando(L(w))-->A-Mod, donde Utilizando(L(w)) denota la categoría de L(w)-comodules cuyo subyacente de Un módulo es finitely generado y proyectivo. Condición a) y c) son condiciones necesarias. No sé si b) es una condición necesaria.
He convencido a mí misma de que el resultado 2) de arriba debe trabajar en este nivel de generalidad, y creo que 3) no debería causar ningún problema. En otras palabras, si la categoría C es un monoidal simétrica categoría donde cada objeto tiene un doble y si w es un fuerte monoidal functor satisfacer a)-c), entonces el coalgebra L(w) debe ser un álgebra de Hopf, y C es en realidad una categoría de representaciones de un grupo afín esquema.
