Volumen de una bola geodésica

Question

Esto puede ser embarazosamente simple, pero no puedo verlo.

Sea $M$ sea una variedad riemanniana de dimensión $n$ Fijar $x \in M$ y que $B(x,r)$ denota la bola geodésica en $M$ de radio $r$ centrado en $x$ . Sea $V(r) = \operatorname{Vol}(B(x,r))$ sea el volumen riemanniano de $B(x,r)$ . Parece ser que para las pequeñas $r$ , $V(r) \sim r^n$ es decir $V(r)/r^n \to c$ con $0 < c < \infty$ . ¿Cómo se demuestra esto y dónde puedo encontrarlo?

Dado un barrio $U \ni x$ y un gráfico $\phi : U \to \mathbb{R}^n$ ciertamente $\phi$ tiene un jacobiano no evanescente, por lo que (haciendo $U$ más pequeño si es necesario) acotado lejos de 0. Entonces $\operatorname{Vol}(\phi^{-1}(B_{\mathbb{R}^n}(\phi(x), r))) \sim r^n$ . Pero no veo como relacionar el pullback $\phi^{-1}(B_{\mathbb{R}^n}(\phi(x), r))$ de una bola euclidiana a una bola geodésica en $M$ .

Answer 1

Es muy sencillo. Como me di cuenta poco después de publicarlo (y como también sugirió Hans), la clave es el mapa exponencial. El espacio tangente $T_x M$ obtiene una estructura de producto interno espacial de la métrica de Riemann; podemos identificarlo isométricamente con $\mathbb{R}^n$ . Ahora $\exp_x : \mathbb{R}^n \to M$ es un difeomorfismo en alguna bola pequeña $B_{\mathbb{R}^n}(0,\epsilon)$ En esta bola, las líneas rectas se convierten en geodésicas de longitud minimizada (véase Do Carmo, Geometría riemanniana Proposición 3.6), por lo que las bolas euclidianas se convierten en bolas geodésicas del mismo radio. Tomando $\epsilon$ más pequeño si es necesario, podemos suponer que el jacobiano de $\exp_x$ está limitada fuera de $0$ y $\infty$ en $B_{\mathbb{R}^n}(0, \epsilon)$ así para $r < \epsilon$ tenemos que $\operatorname{Vol}(B(x,r))$ es comparable a $\operatorname{Vol}(B_{\mathbb{R}^n}(0,r)) \sim r^n$ .

Answer 2

Una búsqueda en Google del título de la pregunta encuentra este artículo donde los cinco primeros coeficientes de la expansión en serie del volumen (en potencias de $r$ ). El primer término es el mismo que el volumen euclidiano (proporcional a $r^n$ en otras palabras); luego vienen las correcciones de orden superior en función de la curvatura.