¿Por qué hay tantos números primos en la convergents de Pi?

Question

Recientemente, yo estaba buscando en fracciones de aproximaciones de pi, como $\frac{22}{7}$ o $\frac{355}{113}$. Encontré que había un nombre para estas aproximaciones, 'convergents' de pi, y me encontré con una lista de los 100 primeros. Tras la inspección de la lista, parecía que una gran cantidad de las fracciones había impar numeradores o denominadores. Además, se parecía un montón de las fracciones habían primer numeradores o denominadores!

Una comprobación rápida con mathematica confirmado esto: 91 de los 100 primeros convergents habían primer numeradores o denominadores! Aún más asombroso, 6 de los 9 que no mantenga esta propiedad ocurrieron dentro de los primeros 11 convergents.

Este parece que no puede ser simplemente una coincidencia, pero no pude encontrar nada sobre ella en línea. ¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

Sus datos parece ser exactamente al revés. De los primeros 100 convergents de pi, sólo 9 de ellos tienen un primer numerador o un primer denominador, con 91 de ellos con ambos compuestos numerador y el compuesto denominador. Por otra parte, 6 de los 9 que tiene un primer numerador o el denominador están en los primeros 11 convergents.

Aquí está el código de Mathematica que he usado:

In[1]:=   c = Convergents[Pi, 100];

In[2]:=   test = PrimeQ[Numerator[#]] || PrimeQ[Denominator[#]] &;

In[3]:=   Length[Select[c, test]]
Out[3]:=  9

De acuerdo con Mathematica, estos 9 son $$ 3,\;\; \frac{22}{7},\;\; \frac{355}{113},\;\; \frac{103993}{33102},\;\; \frac{833719}{265381},\;\; \frac{4272943}{1360120},\;\; \frac{411557987}{131002976},\;\; \frac{2646693125139304345}{842468587426513207}, $$ $$ \frac{7809723338470423412693394150101387872685594299}{2485912146995414187767820081837036927319426665}. $$