¿Puede definirse un espinor como cualquier cantidad que se transforme linealmente bajo transformaciones de Lorentz?

Question

Recientemente me he encontrado con unos cuantos artículos de China (por ejemplo, Xiang-Yao Wu et al., arXiv:1212.4028v1 14 Dic 2012) que hacen la siguiente afirmación:

...cualquier cantidad que se transforme linealmente bajo transformaciones de Lorentz es un espinor.

Tengo entendido que, por ejemplo, un vector de 4 momentos también se transforma linealmente bajo una transformación de Lorentz.

¿Es la primera afirmación simplemente falsa, o hay que tomarla como verdadera en el sentido de que un 4-vector es susceptible de ser escrito en notación espinor?

¿Quizás la primera afirmación sea una confusión entre las transformaciones de Lorentz y las matrices de espín? En el capítulo sobre espinores en la Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler (p. 1148) muestran que mientras un vector se transforma bajo una matriz de espín (también conocido como operador de rotación / cuaternión / transformación de espinor) como:

$$X \to X' = RXR^*,$$

una cantidad que se transforma como

$$ \to R'$$

se conoce como espinor.

¿Asesoría, por favor?

ACTUALIZACIÓN

Tras una nueva búsqueda en Internet, he encontrado referencias que hacen afirmaciones que parecen arrojar algo de luz sobre la cuestión

1. El reciente y muy legible (para los tiranos como yo) "An introduction to spinors" de Andrew Steane ( http://arxiv.org/abs/1312.3824 13 dic 2013), en el que escribe (p.1, 2º párrafo): " Se podría decir que un espinor es el tipo más básico de objeto matemático que puede ser transformado por Lorentz". (Pero ver (3), aquí abajo).

2. Ahora también he rastreado la cita original, repetida palabra por palabra, a través de una serie de documentos anteriores (chinos y rusos) hasta: V. V. Varlamov arXiv:math-ph/0310051v1 (2003), en el que cita -como todos los artículos posteriores- a uno de los primeros escritores sobre espinores, B. L. van der Waerden, Nachr. d. Ces. d. Wiss. Gottingen, 100 (1929). Varlamov también escribió un artículo densamente matemático y bien referenciado, "Clifford Algebras and Lorentz Group" (math-ph/0108022, 2001), que me inclina a dar más credibilidad a la afirmación original, aunque haya sido lorada por varios autores posteriores.

3. Sin embargo, parece que el propio Dirac sugirió una entidad aún más general que el espinor: "Hay que introducir un nuevo tipo de cantidad con componentes que se transforman linealmente bajo las transformaciones de Lorentz, y lo llamo expansor. Es bastante más general que un tensor o un espinor en el sentido de que el número de sus componentes es infinito, pero enumerable." P. 1205, sección 1946:1 DESARROLLOS EN ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA (p. 21 de la sección). Las Obras Completas de P. A. M. Dirac: 1924-48: 1924-1948 Por (autor) P. A. M. Dirac, editor del volumen Richard Henry Dalitz. Cambridge University Press, 26 Oct 1995 - Ciencia - 1310 páginas.

   Además, en la página 1163 de lo anterior, Dirac señala que "la presente teoría de los expansores se aplica, por supuesto, sólo a los espines integrales, pero probablemente será posible establecer una teoría correspondiente de las representaciones de dos valores del grupo de Lorentz, que se aplicará a los espines integrales de media impar."

   Estas entidades de dos valores fueron suministradas posteriormente por Harish-Chandra, que las llamó "expinores" ("Infinite Irreducible Representations of the Lorentz Group", publicado el 1 de mayo de 1947 doi:10.1098/rspa.1947.0047Proc. R. Soc. Lond. A 1 de mayo de 1947 vol. 189 nº 1018 372-401).

No tengo acceso al clásico de van der Waerden, así que no puedo comprobar si hizo la afirmación a la que hace referencia Varlamov (pero tengo pocas razones para dudar de él).

Entonces, ¿qué puedo concluir?

Los trabajos posteriores de Dirac y Harish-Chandra parecen invalidar la afirmación de van der Waerden, citada posteriormente por Varlamov, al menos para IRs de dimensión infinita del grupo de Lorentz.

Así pues, ¿quizás la definición en cuestión se aplique de forma bastante general, pero no universal?

Si es así, sería bueno que un experto aclarara la distinción.

PD Agradecimiento a Qmechanics por ordenar la publicación original.

Answer 1

En muchos contextos, nos gustaría determinar cómo actúan las transformaciones de Lorentz sobre los objetos matemáticos que caracterizan una teoría particular. En el caso de las teorías de campo clásicas e invariantes de Lorentz en el espacio de Minkowski, por ejemplo, necesitamos especificar cómo actúan las transformaciones de Lorentz sobre los campos de la teoría. Esto lleva naturalmente a determinar cómo las transformaciones de Lorentz pueden actuar tanto en el espacio de Minkowski como en los espacios objetivo de los campos. Esto, a su vez, conduce naturalmente a la noción de una representación de dimensión finita del grupo de Lorentz.

Por otro lado, en la mecánica cuántica, y por extensión en la teoría cuántica de campos, a menudo queremos especificar cómo actúan las transformaciones de Lorentz en el espacio de Hilbert de la teoría. En este contexto, el teorema de Wigner en simetrías en mecánica cuántica exige que hasta la fase, las transformaciones de Lorentz como operadores unitarios o antiunitarios sobre el espacio de Hilbert. A su vez, el hecho de que estas transformaciones sólo estén definidas hasta fase implica que uno, en general, necesita considerar la proyectiva representaciones del grupo de Lorentz además de sus representaciones "ordinarias".

Ahora resulta que la determinación de las representaciones proyectivas del grupo de Lorentz $\mathrm{SO}(3,1)^+$ equivale a determinar las representaciones ordinarias de su cubierta universal, que se denomina $\mathrm{Spin}(3,1)$ ¡! Es un girar grupo ¡! De hecho, para cualquier $p,q$ El grupo $\mathrm{SO}(p,q)^+$ de isometrías del espacio $\mathbb R^{p,q}$ tiene cubierta universal $\mathrm{Spin}(p,q)$ .

Por lo tanto,

determinar todas las representaciones proyectivas del grupo de Lorentz es equivalente a determinar las representaciones ordinarias del grupo de espín correspondiente.

Es abrumadoramente probable, en mi opinión, que sea esto a lo que se refieren los autores en su cita, porque los "objetos que se transforman linealmente bajo transformaciones de Lorentz" que consideramos en física son precisamente aquellos objetos que se transforman bajo representaciones proyectivas del grupo de Lorentz (las representaciones ordinarias se incluyen como una subclase), y estos son precisamente aquellos objetos que se transforman bajo representaciones ordinarias de grupos de espín, y tales objetos se llaman espinores.

Por cierto, probablemente encontrará el siguiente post relacionado esclarecedor.

https://physics.stackexchange.com/a/96060/19976

Respuesta antigua e incompleta.

Es difícil saber con certeza las intenciones de los autores, pero aquí hay algunos datos que pueden ayudar a interpretar lo que dicen.

Recordemos que toda representación del álgebra de Lorentz $\mathfrak{so}(3,1)$ puede construirse a partir de representaciones de $\mathrm{sl}(2,\mathbb C)$ El álgebra del momento angular complejizado (que es, por supuesto, el álgebra cuyas representaciones describen el espín). La forma estándar de hacer esto es notar que si uno complejiza el álgebra de Lorentz, cuando uno encuentra que la complejización produce una suma directa de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ con ella misma; \begin{align} \mathfrak{so}(3,1)_\mathbb C \approx \mathfrak{sl}(2,\mathbb C)\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb C). \end{align} De ello se deduce que la teoría de la representación del álgebra de Lorentz se reduce a la teoría de la representación del álgebra del momento angular. De hecho, toda representación irreducible del álgebra de Lorentz es esencialmente un producto tensorial de dos representaciones irreducibles del álgebra del momento angular, y estas representaciones se suelen etiquetar con un par $(s_1, s_1)$ de "giros" $s_1, s_1\in\{0,\frac{1}{2}, 1, \dots\}$ . Por ejemplo, el $(\frac{1}{2},0)$ se denomina representación del espinor de Weyl zurdo, y la $(0,\frac{1}{2})$ se denomina representación del espinor de Weyl diestro.

La representación vectorial a la que te refieres, es decir, aquella representación estándar que transforma un cuatro vector por una transformación de Lorentz $\Lambda\in \mathrm{SO}(3,1)^+$ por el mapeo $V^\mu$ a $\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} V^\nu$ corresponde a la $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ representación. Así que en cierto sentido es cierto como dices que "un 4-vector es capaz de ser escrito en notación espinor".

También se da el caso de que cualquier La representación finita del álgebra de Lorentz puede escribirse como una suma directa de las representaciones irreducibles $(s_1, s_2)$ Así que, en un sentido muy real, todos los objetos de dimensión finita que se transforman en Lorentz pueden "construirse" a partir de representaciones de "espín", es decir, representaciones del álgebra del momento angular.

Answer 2

Esta respuesta llega con varios años de retraso, pero creo que el significado que se pretende es bastante sencillo. Empezar con la transformación de un vector de Lorentz, $$V^\mu \to \Lambda^\mu_\nu V^\nu.$$ Entonces la ley de transformación de un rango $2$ tensor se puede construir por producto, $$T^{\mu_1\mu_2} \to \Lambda^{\mu_1}_{\nu_1} \Lambda^{\mu_2}_{\nu_2} T^{\nu_1 \nu_2}$$ con expresiones similares para tensores de rango arbitrario. Claramente, esta transformación es perfectamente lineal en $T$ como debe ser por la definición de una representación.

Sin embargo, si se considera la matriz $\Lambda$ como algo fundamental que especifica una transformación de Lorentz, entonces se podría decir que la transformación de un rango $2$ es cuadrático, es decir, cuadrático en $\Lambda$ . Más concretamente, todas las representaciones tensoriales pueden construirse mediante productos tensoriales de la representación vectorial, por lo que son de "orden superior".

Ahora la declaración citada lleva esto un nivel más allá. Cuando consideramos representaciones proyectivas del grupo de Lorentz, hay representaciones aún más pequeñas y "elementales" que son los espinores de Weyl diestros y zurdos, que se transforman como $$\psi_\alpha \to M^\beta_\alpha \psi_\beta, \quad \bar{\chi}_{\dot{\alpha}} \to (M^*)^{\dot{\beta}}_{\dot{\alpha}} \,\bar{\chi}_{\dot{\beta}}.$$ Al igual que el rango $2$ El tensor de Lorentz se puede construir tensando dos vectores de Lorentz, el vector de Lorentz se puede construir tensando dos espinores. Por tanto, podríamos decir que los espinores son "lineales" y el vector es "cuadrático" (en $M$ ). De hecho, se puede demostrar que todas las representaciones proyectivas del grupo de Lorentz se pueden encontrar tensando los espinores.

El verdadero problema es la barrera lingüística. No es que la gente esté repitiendo ciegamente lo mismo que tú estás repitiendo tu libro de texto cuando dices que "todas las representaciones son lineales". Lo que ocurre es que utilizan una palabra de forma diferente a la que tú esperas.