He encontrado en el Wolfram MathWorld página de el Axioma del Conjunto Vacío que este es uno de los Zermelo-Fraenkel Axiomas, sin embargo en la página acerca de estos Axiomas ZFC he leído que es un axioma que se deduce del Axioma de Subconjuntos y el Axioma de Fundación (o Axioma de Regularidad), por lo que, la existencia del Conjunto Vacío es un axioma de ZFC o no?
Respuestas
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En resumen, no tenemos necesidad de adoptar esto como un axioma. Pero...
Si hay conjuntos, el axioma de subconjuntos nos dice que no es un conjunto vacío: Si $x$ es un conjunto, entonces $\{y\in x\mid y\ne y\}$ es un conjunto, y está vacía, ya que no existen elementos $y$ $x$ que $y\ne y$. El axioma de extensionality y luego nos dice que solo hay un conjunto vacío.
Así, la cuestión es si podemos demostrar que no son cualquier conjuntos. El axioma de infinitud que nos dice que existe un conjunto (que es infinito, o inductiva, o lo que sea formalización de utilizar). Pero esto parece ser un terrible exageración para comprobar que no son conjuntos, al postular que hay infinitamente muchos.
Algunas personas prefieren tener un axioma que dice que no son conjuntos. Por supuesto, algunas personas prefieren tener un axioma que dice que no es un conjunto vacío, así que en vez de tener que existen conjuntos, y evitar la aplicación de comprensión para comprobar que el conjunto vacío existe.
Otras personas adoptan una formalización de primer orden lógico en el que podemos demostrar que no son conjuntos. Más detenidamente, la mayoría de las formalizaciones de la lógica (sin duda, el que yo prefiero) demostrar un teorema que el universo de discurso es no vacío. En el contexto de la teoría de conjuntos, esto significa que "hay conjuntos". Esto es pura lógica, antes de llegar a los axiomas de la teoría de conjuntos. Bajo este enfoque, no es necesario el axioma de que los estados que no son conjuntos, y la existencia del conjunto vacío puede ser establecido como se explicó anteriormente.
(La lógica de la prueba de que existen conjuntos no es particularmente iluminador o filosóficamente significativo. Por lo general, uno de los axiomas de primer orden lógico es que $\forall x\,(x=x)$. Si $\exists x\,(x=x)$ --la declaración formal correspondiente a "hay conjuntos"-- es falsa, entonces la $\forall x\,(x\ne x)$. Instanciar, obtenemos $x\ne x$, y se ejecuta el axioma $\forall x\,(x=x)$ obtenemos $x=x$, y una de estas conclusiones es la negación de la otra, lo cual es una contradicción. Esto no es particularmente revelador, porque, por supuesto, elegimos nuestra lógica de los axiomas y las reglas de la creación de instancias para que este tonto argumento puede ir a través de, no es una profunda resultado, y probablemente no obtenemos mucha visión de ella).
Resulta que sin embargo, algunos otros prefieren para permitir la posibilidad de que existan vacíos universos de discurso, por lo que su formalización de primer orden de la lógica es ligeramente diferente, y en este caso, tenemos que adoptar algunas de las axioma a la conclusión de que hay al menos un set.
Al final del día, se considera que este es un asunto menor, más una cuestión de gusto personal de un problema matemático.
sewo
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58
Si aparece como un axioma o no, depende del temperamento del autor.
En la mayoría de las formalizaciones de la lógica de primer orden (la lógica subyacente de la teoría de conjuntos ZFC), la fórmula "existe algo": $$\exists x.(x\in x\lor x\notin x)$$ es una lógica de la tautología , es decir, es comprobable sin utilizar cualquier axiomas. (Semánticamente, los habituales de la lógica de primer orden se supone que el universo de la teoría es, implícitamente, no-vacío). Desde allí se puede producir fácilmente un conjunto vacío por el subconjunto axioma: $$ \varnothing = \{ y \in x \mid y\in y\land y\notin y \}$$ y este conjunto vacío es el único por el Axioma de Extensionality.
Muchos autores, sin embargo, creo que se hace más clara la exposición a la lista de la existencia de un conjunto vacío como una explícita axioma en lugar de depender de las sutilezas de la lógica subyacente.
Incluso en la lógica donde el universo es permitido estar vacío (y $\exists x.\mathit true$ no es una tautología lógica) que podría, en principio, de hacer con el Axioma de Infinitud, que también (en algunos de sus posibles formulaciones) afirma la existencia de un conjunto con ciertas propiedades sin depender de ningún pre-sets existentes. Entonces, como antes, el conjunto vacío puede ser construido como $\{ y \in \omega \mid y\in y \land y\notin y\}$.
Sin embargo, esta última opción es un inconveniente en la práctica porque hay cosas interesantes que decir acerca de "ZFC sin el Axioma de Infinitud", y sería engorroso (y menos llamativo) para hablar acerca de "ZFC sin el Axioma de Infinitud, pero con un añadido Null Conjunto axioma" al constatar los resultados.
Njax3SmmM2x2a0Zf7Hpd
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146
Hay un número de elementarily equivalente axiomatizations de ZFC (en el sentido de que las pruebas de equivalencia involucran sólo una elemental lógica consideraciones). Como nota, en algunos axiomatizations, la existencia de un conjunto vacío es un axioma (con otros axiomas probar la unicidad), en otros axiomatizations la existencia del conjunto vacío es un teorema. No hay nada profundo pasando aquí!
