Deje $X_1,\dots,X_n$ ser independiente de variables de Bernoulli con probabilidad de $p<\frac{1}{2}$ (aun $p\le\frac{1}{3}$ si es necesario). Deje $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ ser no negativo números reales tales que a $\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i = 1$, y deje $Y = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i X_i$.
Demostrar (o refutar): $\Pr(Y\ge p)\ge p$.
Puedo probar este para todos $p=\frac{1}{k}$, $k\ge3$, pero intuitivamente me parece que debería ser así en todas las $p<\frac{1}{2}$, y no he podido encontrar una prueba de ello.
EDIT: a mi (o más bien, de un amigo) la prueba de $p = \frac{1}{k}$:
Para cada variable de Bernoulli definir una variable aleatoria $Z_i$ que toma valores de un conjunto de objetos formales $\{b_1,\ldots b_k\}$ de manera uniforme, y definir una función $f$ sobre estos objetos formales como $f(b_1) = 1$, $\forall_{i>1}f(b_i)=0$.
Claramente, $f(Z_i)$ es una variable de Bernoulli con probabilidad de $p$, pero el espacio muestral para una combinación convexa de $f(Z_1),\ldots f(Z_n)$ ahora pueden ser vistos como consta de $k^n$ estados de la forma $(b_{i_1},\ldots,b_{i_n})$ a partir de la cual se selecciona de manera uniforme.
Grupo de estos estados en los conjuntos de $k$ estados de cambios cíclicos de los índices (es decir, $(b_{i_1},\ldots,b_{i_n})$ $(b_{j_1},\ldots,b_{j_n})$ están en el mismo conjunto iff para todos los para todos $1\le s \le n$, $b_{j_s} = b_{i_s} + c (\mod k)$ para algunos $s$-independiente entero $c$).
La suma de los valores de una combinación convexa de estos conjuntos en $f$ es exactamente $1$, ya que cada componente se $b_0$ en exactamente uno de los miembros del conjunto, de manera que en cada grupo existe al menos un estado cuyo valor es mayor o igual a $\frac{1}{k}$.
Para resumir, me han demostrado que el nuevo espacio de muestreo pueden ser divididos en grupos de a $k$ puntos tales que en cada grupo existe al menos un punto valorado por encima de (o en) $\frac{1}{k}$, y la probabilidad de elección de un punto es, al menos,$\frac{1}{k}$.
