Límite de $\left(\frac{2\sqrt{a(a+b/(\sqrt{n}+\epsilon))}}{2a+b/(\sqrt{n}+\epsilon)}\right)^{n/2}$

Question

Me cuesta caracterizar el comportamiento de la siguiente expresión:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2\sqrt{a(a+b/(\sqrt{n}+\epsilon))}}{2a+b/(\sqrt{n}+\epsilon)}\right)^{\frac{n}{2}}$$

con las siguientes restricciones sobre los parámetros: $0<b<a<\infty$ y $\epsilon\in\mathbb{R}$ . Estoy interesado en lo siguiente:

1. para $\epsilon>0$ ¿Este límite se reduce a cero o a algún valor? constante $C$ ? Si ambos pueden ir a cero o a alguna constante $C>0$ , ¿cuáles son las condiciones del valor de $\epsilon$ en función de $a$ y $b$ que conduce a estos resultados, en su caso?
2. para $\epsilon<0$ ¿siempre va a alguna constante $C<1$ o puede ir a 1 para algunos $\epsilon$ si es función de $a$ y $b$ ?
3. qué ocurre con este límite cuando $\epsilon=0$ ?

Answer 1

Alegación: El límite es $\exp(-b^2/(16a^2))$ independientemente de $\epsilon$ .

Prueba: Sea $x_n=b/(2a(\sqrt{n}+\epsilon))$ entonces se pregunta por el comportamiento de $$ K_n=\left(\frac{1+2xx_n}{(1+xx_n)^2}\right)^{n/4} $$ cuando $n\to\infty$ con $x\to0$ . Tenga en cuenta que $$\frac{1+2x_n}{(1+x_n)^2}=1-\frac{x_n^2}{(1+x_n)^2}=1-x_n^2+o(x_n^2),$$ y que $x_n^2\sim c^2/n$ con $c=b/(2a)$ Por lo tanto $$ K_n=\left(1-\frac{c^2}n+o\left(\frac1n\right)\right)^{n/4}\longrightarrow\exp\left(-\frac{c^2}4\right). $$

Answer 2

Sea el límite deseado denotado por $L$ . Tomando logaritmos obtenemos \begin{align} \log L &= \log\left\{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2\sqrt{a(a + b/(\sqrt{n} + \epsilon))}}{2a + b/(\sqrt{n} + \epsilon)}\right)^{n/2}\right\}\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\log\left(\frac{2\sqrt{a(a + b/(\sqrt{n} + \epsilon))}}{2a + b/(\sqrt{n} + \epsilon)}\right)^{n/2}\text{ (by continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\log\left(\frac{2\sqrt{a(a + b/(\sqrt{n} + \epsilon))}}{2a + b/(\sqrt{n} + \epsilon)}\right)\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\log\left(\frac{2\sqrt{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)}}{2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b}\right)\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\log\left(1 + \frac{2\sqrt{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)} - 2a(\sqrt{n} + \epsilon) - b}{2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b}\right)\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\log(1 + (A/B)) \end{align} donde \begin{align} \frac{A}{B} &= \frac{2\sqrt{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)} - 2a(\sqrt{n} + \epsilon) - b}{2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b}\notag\\ &= \frac{4\{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)\} - 4a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} - b^{2} - 4ab(\sqrt{n} + \epsilon)}{\left(2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b\right)\left(2\sqrt{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)} + 2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b\right)}\notag\\ &= -\frac{b^{2}}{\left(2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b\right)\left(2\sqrt{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)} + 2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b\right)}\notag\\ &\to 0 \text{ as }n \to \infty\notag \end{align} Por lo tanto, podemos continuar la evaluación del límite como \begin{align} \log L &= \lim_{n \to 0}\frac{n}{2}\log(1 + (A/B))\notag\\ &= \lim_{n \to 0}\frac{n}{2}\cdot\frac{A}{B}\cdot\frac{\log(1 + (A/B))}{A/B}\notag\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2}\cdot\frac{A}{B}\notag\\ &= -\frac{b^{2}}{2}\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\left(2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b\right)\left(2\sqrt{a^{2}(\sqrt{n} + \epsilon)^{2} + ab(\sqrt{n} + \epsilon)} + 2a(\sqrt{n} + \epsilon) + b\right)}\notag\\ &= -\frac{b^{2}}{2}\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\left(2a(1 + \epsilon/\sqrt{n}) + b/\sqrt{n}\right)\left(2\sqrt{a^{2}(1 + \epsilon/\sqrt{n})^{2} + ab(1/\sqrt{n} + \epsilon/n)} + 2a(1 + \epsilon/\sqrt{n}) + b/\sqrt{n}\right)}\notag\\ &= -\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{1}{2a(2a + 2a)}\notag\\ &= -\frac{b^{2}}{16a^{2}}\notag \end{align} Así $L = \exp(-b^{2}/16a^{2})$ .