Aquí están algunos (al azar) datos útiles/ejemplos acerca de morfismos:
1) La normalización de la cúspide $C\subconjunto \mathbb A^2$ dada por $y^2=x^3$ es el morfismos $\nu:\mathbb A^1\a C:t\mapsto (x=t^2,y=t^3)$
Que morfismos es finito, bijective, pero no es un isomorfismo y no es plana. De manera más general:
2) no trivial de la normalización es nunca plana
3) Cualquier morfismos entre suave variedades cuyas fibras tienen la misma dimensión es plana: "el Milagro de la Llanura".
4) Plano de morfismos entre las variedades están abiertas.
5) La inclusión de $\text {Spec} (k)\hookrightarrow \text {Spec}( k[\epsilon]/(\epsilon^2))$ de la simple punto en el doble punto se abre pero no plana.
6) Cualquier morfismos de $\mathbb A^1 \to \mathbb A^n $ ha cerrado la imagen, pero la imagen de los morfismos de $\mathbb A^2\to \mathbb A^2:(x,y)\mapsto (x,xy)$ no es cerrado. [Esta es una extensión de un ejemplo en la pregunta]
7) Suave, o incluso étale, morfismos no tiene por qué haber secciones locales: pensar la cuadratura del mapa de $\mathbb G_m\to \mathbb G_m:z\mapsto z^2$ de la línea con origen eliminado a sí mismo.
8) Una variedad afín pueden mapa surjectively en una variedad proyectiva: $\mathbb A^1\to \mathbb P^1:u\mapsto (u:1-u^2)$
9) Morfismos de $\mathbb P^N\to \mathbb P^n$ con $N\gt$ n son constantes.
10) Morfismos $X\a Y$ entre suave irreductible proyectiva curvas con $\text {género} (X)\lt \text{género}(Y)$ son constantes.
11) Los morfismos de $\mathbb A^1\to \mathbb^n:t\mapsto (t^{n+1},\cdots,t^{2n})$ tiene como imagen de una curva cerrada $C\subconjunto \mathbb A^n$ [cf. 6)] .
La curva, aunque de dimensión $1$, tiene un enorme $$n-dimensional de Zariski el espacio de la tangente $T_O(C)= T_O(\mathbb A^n)$ origen $S$ y $C$ no es isomorfo a cualquier cerrada subvariedad de una variedad lisa de dimensión $\lt$ n.
12) El Viète de morfismos construido a partir de la primaria simétrica funciones $s_i(x_1,\cdots,x_n)$ más de un anillo de $k$ : $$s:\mathbb Un^n_k \to \mathbb^n_k: x=(x_1,\cdots,x_n)\mapsto (s_1(x),\cdots, s_n(x))$$ es finito de grado $n!$ y fielmente plana.
Es el cociente de morfismos de $\mathbb^n_k \(\mathbb^n_k)^{S_n}$ de espacio afín por el grupo natural de acción del grupo simétrico $S_n$ en ese espacio afín.
Observe que el espacio cociente es no singular aunque la acción está lejos de ser libre.
