¿Es posible representar cada número irracional como una suma infinita de números racionales?

Question

Por ejemplo, podemos representar ciertamente de esta manera.

$$ \frac{\pi}{4} \;=\; \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} .\! $$

$\ln(2)$ también es irracional. E incluso eso puede representarse como una suma infinita de una secuencia de números racionales:

$$ \ln (1+x) \;=\; \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n. $$ con $x=1$ .

Y también, $\sqrt2$ :

$$ \sqrt2 \;=\; \sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{4^kk!}\tag{2} $$

Tengo curiosidad por saber si esto se aplica a todos los números irracionales. Si es así, ¿cómo se demuestra?

Answer 1

Desde esa serie $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} $$ converge condicionalmente, el Teorema de reordenación de Riemann dice que podemos obtener todo número real, racional o irracional, reordenando los términos de esa serie

Así que, sí, todo número irracional puede escribirse como el límite de la suma de números racionales.

Answer 2

Sí, una forma fácil de ver esto es mirar las expansiones decimales, ya que en realidad utilizamos este hecho a diario cuando decimos que un número es igual a su expansión. Por ejemplo, $$\pi=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+0.00009+0.000002+\cdots$$ $$e = 2 + 0.7 + 0.01 + 0.008 + 0.0002 +0.00008 +0.000001 +0.0000008+\cdots$$ Cada suma parcial es un número racional, y puedes descomponer cualquier otro número irracional de la misma manera.

Answer 3

Todo número real puede representarse como una suma infinita de racionales.

Prueba: Sea $a\in\mathbb{R}$ y $a_1,a_2,\dots$ sea una secuencia de racionales que convergen a $a$ .

Entonces

$$a=a_1+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_{n+1}-a_n)$$

Answer 4

Si te entiendo bien entonces la respuesta es no . Obsérvese que todas las secuencias en cuestión tienen términos generales de forma "regular". Sin embargo, como el número de tales expresiones "regulares" es contable mientras que el número de irracionales es no la conclusión lógica sería que es simplemente imposible . Rob John mencionó el reordenamiento de los términos "regulares" de una expresión condicionalmente convergente para obtener todos los números reales imaginables. Verdadero pero en este caso la propia reordenación sería "irregular", rompiendo así la "regularidad" de las expresiones que has puesto como ejemplo.

Answer 5

\====nueva edición====

A través de la respuesta de Lucien se me ocurre que "representado como una suma infinita de una secuencia de números racionales" puede interpretarse de dos maneras. Puede ser simplemente $x = \sum q_n $ donde cada $q_n$ es un número racional. Esta es la forma en que lo interpreté y es esta interpretación en la que se basa el resto de esta respuesta.

O podría interpretarse como $x = \sum $ ( alguna bonita regla que dé un número racional basado en n ). Los ejemplos del PO son de este tipo y tienen una cualidad predictiva. Podemos utilizarlos para calcular el valor del número real. Mi interpretación no tiene calidad predictiva en cuanto a lo que el $q_n$ términos será; sólo que hay son una serie de términos racionales que convergerán al irracional real x.

Según mi interpretación, todos los irracionales pueden representarse así (respuesta más abajo). Según la interpretación de Lucien, no pueden. Su razón es que sólo hay un número contable de reglas. No estoy seguro de ello, pero creo que el hecho de que los irracionales sean incontables los hace "arbitrarios" e imprevisibles. Pero me costaría mucho formalizarlo.

\========== fin de la nueva edición ===========

Respuesta corta: Esa es la definición de un número real.

Respuesta larga:

El teorema fundamental del análisis es que existe un campo ordenado que extiende los racionales de tal manera que el campo tiene la propiedad del mínimo límite inferior. Definimos los números reales como ese campo.

Esto significa que, por definición, todo número real es el límite de una secuencia convergente de racionales. Por definición.

Las sumas infinitas son el límite de las sumas finitas. Por tanto, todo real puede escribirse como una suma infinita de racionales. Esto equivale a la definición de número real.

La prueba del thereom fundamental es algo tediosa y larga. No es difícil, pero el punto es que usted hace la prueba antes de los reales están definidos y la definición sale durante la prueba.

Respuesta más larga:

Esquema del teorema del fondo:

Paso 1: Definir un "corte" como un conjunto de racionales con propiedades:

i) un corte no está vacío. ii) si p está en un corte entonces todo número racional menor que p está en el corte iii) para cualquier p en el corte se puede encontrar un racional mayor que está en el corte

Así que un corte podría ser todos los racionales menores que pero no iguales a 3. O todos los números racionales cuyos cuadrados sean menores que 2. (El primero va a ser eventualmente equivalente a 3, y el último va a ser eventualmente equivalente a $\sqrt 2$

Paso 2: Definir a < b para significar que el corte a es un subconjunto del corte b.

Paso 3: Demostrar que el conjunto de todos los cortes, llamémoslo R~ tiene la propiedad de mínimo límite superior.

Caramba. Aquí es donde se vuelve abstracto. La propiedad del mínimo límite superior significa que cada conjunto acotado en un conjunto universal (como lo que serán los Reales una vez que los definamos) tiene un límite distinto que está en el conjunto universal. Ejemplo: Q hace no tienen la propiedad de límite superior mínimo.

Así que podemos tener un conjunto de cortes llamado A. Puede ser acotado por encima, lo que significa que hay un corte, b, tal que todos los cortes en A son subconjuntos de b. (Recuerde que "menor" significa "es un subconjunto de"). La unión de todos los cortes de A es mayor o igual que todos los cortes de A. la unión es un corte en sí mismo. La unión es el corte más pequeño que es mayor que todos los cortes de A. Así que la unión es un límite superior mínimo y R~ tiene la propiedad de límite superior mínimo.

Paso 4: Definir el corte a "+" el corte b como el corte que contiene las sumas de los elementos de a más los elementos de b. Definir 0~ como el corte que contiene todos los números negativos. Esto satisface las propiedades de adición.

Paso 5: Más sobre el campo y las propiedades aditivas y de orden de lo que te gustaría pensar.

Paso 6-8: Demostrar que R~ un campo.

Paso 9: Demostrar que el Q~ = todos los cortes que se definen como todos los puntos menores que un número racional es equivalente a Q. por lo que Q tiene una extensión que es equivalente a R~. Llamamos a los R, los números reales.

Así que..... Así que cada número real es simplemente el límite de todos los números racionales en algún corte. El corte proporciona secuencias de números racionales que convergen a ese número real.

Así que todo número real es el límite de una secuencia convergente de números racionales.