Demostrando un límite que involucran múltiples variables mediante epsilon-delta

Question

Estoy teniendo algunos problemas con $\varepsilon$-$\delta$ pruebas de límites con más de una variable. Entiendo que la $\varepsilon$-$\delta$ definición de un límite, pero no sé cómo lidiar con múltiples variables.

He aquí un ejemplo simple: demostrar el siguiente límite, si existe, el uso de la épsilon-delta definición: $$ \lim_{(x,y)\a (1,2)}\frac{x^2}{x+y} = \ffi \forall(\varepsilon>0)\, \exists(\delta) \left[ |(x,y)-(1,2)|<\delta \implica \left|\frac{x^2}{x+y}-\right|<\varepsilon \right] $$

Obviamente, este límite es de $1/3$, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Deje $x= 1 +t\;\;y=2+s$ Vamos $s^2 +t^2<\delta^2$ $$\dfrac{x^2}{x+y}=\dfrac{1}{3+t+s} +\dfrac{2t+t^2}{3+t+s}$$ $$|\dfrac{2t+t^2}{3+t+s}| \leq |\dfrac{2t+t^2}{3-2\delta}|\leq3\dfrac{\delta}{3-2\delta}\leq3\delta$$ If $\delta<1.$

$$|\dfrac{1}{3+t+s}-\frac13|=|\dfrac{t+s}{3(3+t+s)}|\leq\dfrac{2\delta}{3(3-2\delta)}\leq\dfrac{2\delta}{3}$$ El uso de este puede completar la prueba.

Answer 2

En realidad, Es bastante obvio. Cuando tenemos múltiples variables que intervienen, busque el intervalo que las variables son, y vamos a poder encontrar un límite (superior o inferior) para las variables.

Por ejemplo, en tu ejemplo, el intervalo de (x,y) es (1,2). Por lo tanto, yo reclamo x < 1 y y < 2, respectivamente, y se nota la desigualdad es estricta, ya que este intervalo no está cerrado. Entonces, cuando me conecte estos límites en la última parte de su implicación, tengo 1 / (1+2) = 1/3 < $\epsilon$

Espero que esto ayude.