Denota el número de vértices con grado $k$ por $n_k\geq0$ . Entonces $n_2=0$ y $n_k=0$ para $k>9$ . Por lo tanto, tenemos $$n_1+n_3+n_4+n_5+n_6+n_7+n_8+n_9=10\ .$$ Dado que un árbol con $10$ vértices tiene necesariamente $9$ bordes también tenemos $$n_1+3n_3+4n_4+5n_5+6n_6+7n_7+8n_8+9n_9=18\ .$$ Restando estas dos ecuaciones obtenemos la condición necesaria $$2n_3+3n_4+4n_5+5n_6+6n_7+7n_8+8n_9=8\ .\tag{1}$$ Dejemos que $r=\max\{k\>|\>n_k\ne0\}$ . Ahora enumeramos las posibles soluciones de $(1)$ de acuerdo con la descendente $r$ , comenzando por $r=9$ . No se menciona $n_k$ 's con $k>1$ son tácitamente $=0$ .
$r=9$ : $\quad n_9=1$ refuerza $n_1=9$ que es el número 8 en la imagen.
$r=8$ es imposible.
$r=7$ : $\quad n_7=1$ refuerza $n_3=1$ por lo que el $7$ -vertex y el $3$ -vértice tienen que ser adyacentes. Este es el número 1 de la imagen.
$r=6$ : $\quad n_6=1$ refuerza $n_4=1$ por lo que el $6$ -vertex y el $4$ -vértice tienen que ser adyacentes. Este es el número 2 de la imagen.
$r=5$ : $\quad n_5=2$ refuerza $n_1=8$ que es el número 6 en la imagen. - $\quad n_5=1$ refuerza $n_3=2$ . Los dos $3$ -verticales y el $5$ -vertex puede disponerse como $353$ o como $335$ . Se trata de los números 4 y 9 de la imagen.
$r=4$ : $\quad n_4=2$ refuerza $n_3=1$ . Los dos $4$ -verticales y el $3$ -vertex puede disponerse como $434$ o como $443$ . Estos son los números 10 y 3 de la imagen. - $\quad n_4=1$ es imposible.
$r=3$ refuerza $n_3=4$ . Los cuatro $3$ -Los vértices pueden estar en línea o en forma de hélice. Se trata de los números 7 y 5 de la imagen.
