$\mathrm{Ext}^n(\mathcal F, i_*\mathcal G) =\mathrm{Ext}^n(i^*\mathcal F,\mathcal G)$ ?

Question

Dada una inmersión cerrada $i: Z \hookrightarrow X$ una gavilla coherente $\mathcal{F}$ en $X$ y una gavilla coherente $\mathcal{G}$ en $Z$ ¿tenemos $\mathrm{Ext}^n(\mathcal{F}, i_*\mathcal{G}) = \mathrm{Ext}^n(i^*\mathcal{F}, \mathcal{G})$ ? Para $n = 0$ es la adjunción habitual, por lo que podemos deducirla por el "universal" habitual $\delta$ ¿el argumento "-functor"?

Considere el exacto $\delta$ -funcionarios $\mathrm{Coh}(Z) \to (Ab), \mathcal{G} \mapsto \mathrm{Ext}^n(\mathcal{F}, i_*\mathcal{G})$ y $\mathcal{G} \mapsto \mathrm{Ext}^n(i^*\mathcal{F}, \mathcal{G})$ (exacto ya que $i_*$ es exacta). Coinciden para $n = 0$ por lo que sólo hay que comprobar si ambos son eficaces para que coincidan para cada $n$ .

¿Podríamos también derivar esto utilizando categorías derivadas?

Edición: Parece que está mal: Toma $i$ la inclusión de un punto cerrado, entonces el RHS es siempre trivial, pero no creo que el LHS lo sea. Por ejemplo $\mathrm{Ext}^1(k(x),k(x)) = T_x$ el espacio tangente de Zariski. Entonces, ¿en qué se equivoca el "argumento" anterior?

Answer 1

Me siento un poco raro respondiendo a tu pregunta casi un año después, pero ahí va:

He editado esto un montón de veces, y creo que el problema es que el functor izquierdo, $\mathrm{Hom}(\mathscr{F},i_*(-))$ no es borrable y no es universal. $i_*$ no preserva necesariamente los injetivos, de hecho preserva los injetivos si $i^*$ es exacta,(Si $(\mathscr{F,G})$ es un par adjunto de funtores aditivos, entonces $\mathscr{G}$ preserva los injetivos si y sólo si $\mathscr{F}$ es exacta, el "sólo si" cuando tenemos suficientes injetivos. Ver Weibel, Introducción al álgebra homológica (la Proposición 2.3.10 para la prueba del caso "si", y el comentario de t.b. más abajo para el caso "sólo si").