Cohomological definición de el anillo de Chow

Question

Deje $X$ ser un suave proyectiva variedad, más de un campo de $k$. Se puede definir el anillo de Chow $A^\bullet(X)$ a ser el grupo libre generado por irreducible subvariedades, modulo racional de equivalencia. La multiplicación proviene de la intersección. El problema es, verificar que todo está bien definido es un dolor. Mi pregunta es

Hay una definición de $A^\bullet(X)$ que es puramente cohomological?

En otras palabras, es posible dar una definición de $A^\bullet(X)$ que funciona para cualquier rodeada de espacio? Probablemente, el hecho de que esta definición es equivalente a la usual será un teorema de alguna sustancia.

Nota: yo soy no diciendo que la definición habitual de el anillo de Chow es "malo" de alguna manera. Yo creo que sería bueno saber si hubo un "alto nivel".

Answer 1

El Bloch de la fórmula (demostrado por Quillen, casos especiales por Bloch) se cumple para cualquier esquema regular $X$ finito de tipo más de un campo: el grupo algebraico de los ciclos de codimension $i$ modulo racional de equivalencia es isomorfo a la cohomology grupo $H^i(X,\mathcal{K}_i)$ donde $\mathcal{K_i}$ es la gavilla asociados a la presheaf que envía cada subconjunto $U$ $K_i(U)$donde $K_i$ $K$-la teoría de la functor en el sentido de Quillen. Uno puede utilizar esta opción para definir la intersección del producto.

Nota: $K_i$ es el functor en esquemas que envía a $X$ para el grupo abelian $K_i(X)$ donde $K_i$ se define como $K_i$ exactos de la categoría $P(X)$ de vector de paquetes en $X$. Si $f:X\to Y$ es una de morfismos de los esquemas de la inversa de la imagen functor $f^*:P(Y)\to P(X)$ es un functor exacto inducir una de morfismos de $K$grupos $K_i(Y)\to K_i(X)$. En particular, si $U\subseteq X$ es una subscheme entonces esto proporciona la restricción, de donde $U\mapsto K_i(U)$ es realmente un presheaf, por lo que es asociada a una sheafification.

Por supuesto, la definición de $K_i(\mathcal{A})$ exacta categoría $A$ requiere de algunas máquinas, pero la definición en Quillen del papel supone sólo un conocimiento básico de la categoría de teoría y un poco de álgebra homológica. Si el homotopy teoría de categorías es un poco rápido " hay que intentar Weibel K-Libro (disponible en su sitio web), Ch. 4, Sección 3.

El Quillen papel de "Mayor Algebraica de K-Teoría I", Teorema 5.19 para la prueba original. Una excelente introducción es Gillet papel del "K-Teoría y en la Intersección de la Teoría", que es en el gran "Manual de K-Teoría".

Answer 2

Otro resultado me corrió todo. En Hulsbergen del libro Conjeturas en aritmética geometría algebraica menciona el siguiente teorema "de Grothendieck."

Para un general de los anillos de espacio, vamos a $$ K_0(X)^{(n)} = \{x\in K_0(X)_{\mathbf Q}:\psi^r(x) = r^n x\text{ para todo }r\geqslant 1\} $$ donde $\psi^r$ $r$- th Adams operación. El teorema de los estados:

Si $X$ es una variedad lisa sobre un campo $k$,$\operatorname{A}^n(X)_{\mathbf Q}\simeq K_0(X)^{(n)}$.

Por desgracia, además de la obvia conclusión de que este resultado está en algún lugar en el SGA 6, no existe referencia específica dada.