Complejo Factorial Equivale A Una

Question

Por lo complejo de los valores de $z$ $$z! =1? Están incluso todos los conocidos? Hay un número finito o infinitamente muchos?

(Sí, el trivial $z$ son 0 y 1. )

Answer 1

Yo asumo lo que te refieres es $\Gamma(z+1) = 1$.

He aquí un dibujo de las curvas de $\text{Re}(\Gamma(z+1)) = 1$ (azul) y $\text{Im}(\Gamma(z+1)) = 0$ (rojo). Cada intersección de una curva roja y azul corresponde a una solución. Suponiendo que el patrón continúa, ciertamente parece que hay infinitamente muchos.

El primer $10$ soluciones en el primer cuadrante son $$\begin {array}{c} 1\\ 3.213486150+ 4.253693352\,i\\ 4.447352283+ 6.904660210\,i\\ 5.449043370+ 9.238727110\,i \\ 6.328673500+ 11.39926303\,i\\ 7.129370000+ 13.44405135\,i\\ 7.873424830+ 15.40369196\,i\\ 8.574168470+ 17.29686175\,i \\ 9.240338285+ 19.13602021\,i\\ 9.878036600+ 20.93000503\,i\end {array}$$

Aquí está una parcela de la primera $151$:

Ciertamente parece que se encuentran en una curva.

EDIT: OK, algo analítica se puede decir. El asintótica

$$\Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi} e^{-z} z^{z-1/2} = \sqrt{2\pi} \exp(-z + (z - 1/2) \log(z)) \ \text{como}\ |z| \to \infty$$

tiene por $|\arg z| < \pi$ con la rama principal de la sesión. Si $z = t e^{i\theta}$$\theta \in (0, \pi/2)$, $$\text{Re}(-z + (z-1/2) \log(z)) = t \ln(t) \cos(\theta) - (\theta \sin(\theta) + \cos( \theta)) t - \ln(t)/2$$ Si esto es $\log(1/\sqrt{2\pi})$, lo que indica que $|\Gamma(z) \approx 1$, a continuación,$\ln(t) \approx 1 + \theta \tan(\theta)$. Tenga en cuenta que el lado derecho va a$\infty$$\theta \to (\pi/2)-$. Las raíces deben estar aproximadamente en esta curva. Y, de hecho, aquí es la anterior parcela junto con la curva de $\ln(t) = 1 + \theta \tan(\theta)$ (en rojo):