¿Ha alguien se hablado en comprensión Euler ' identidad un poco?

Question

¿Qué tiene que ver con la base del logaritmo natural y $\sqrt{-1}$ el cociente de la circunferencia de un círculo a su diámetro?

Answer 1

La natural función exponencial $w=e^z$ cambios en una tasa igual a su propio valor. Así que a $z=0$, $w=1$ y la tasa de cambio $dw/dz$$1$. Así que (como la de Euler) considere una infinitamente pequeña, pero no cero de variación en $z$, llama $dz$. ¿Qué es $dw=e^{0+dz}$? Debido a que la tasa de cambio es$1$,$dw=dz$. En particular, esto significa que si $dz = i\;dy$ donde $dy$ es infinitamente pequeño y real, entonces se mueve de $1$ en el plano complejo en una dirección hacia arriba o hacia abajo, es decir, a lo largo de la unidad círculo!.

Ahora supongamos $e^a$ es algún punto en el círculo y pensar acerca de $e^{a + i\;dy}$ donde $dy$ es infinitamente pequeño y lo real. De nuevo, queremos que la tasa de cambio a ser igual al valor de la función, y que equivale a la tasa de cambio es el mismo punto en el círculo. Dibuje un vector de $0$ a ese punto; a continuación, $w$ está cambiando, que muchas veces tan rápido como $z$ está cambiando. Ahora observe que el infinitamente pequeña cantidad $i\;dy$ es un imaginario puro, y cuando se multiplica por un imaginario puro gire $90^\circ$. Eso significa que $dw$ va a ser tan grande en valor absoluto como $dy$ (ya que el valor absoluto de la derivada en ese punto es $1$, desde el punto en el círculo unitario) pero girada $90^\circ$. Eso significa que en lugar de una flecha de $0$ a un punto en el círculo, golpeando el círculo en un ángulo recto, tenemos una flecha tangente al círculo. En otras palabras, como $z$ cambios en la verdadera dirección, $w$ está cambiando en una dirección tangente al círculo en el punto donde se $w$ se encuentra.

Así que como $y$ mueve a lo largo de la línea real y $iy$ a lo largo del eje imaginario, $w$ mueve alonng el círculo! (Y a la misma velocidad.)

Answer 2

He aquí un punto de vista de la perspectiva: "la Serie me hizo hacerlo".

Si se toma la definición de $e^x$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. A continuación,$e^{ix} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!}$. Teniendo en cuenta $i^2=-1$, $i^3=-i$, etc., $e^{ix} = \sum\limits_{n\;\mathrm{even}} \frac{(ix)^n}{n!} + \sum\limits_{n\;\mathrm{odd}} \frac{(ix)^n}{n!} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(ix)^{2k}}{(2k)!} + \sum\limits_{\ell=0}^\infty \frac{(ix)^{2\ell+1}}{(2\ell+1)!}$ Por lo tanto $e^{ix} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+\sum\limits_{\ell=0}^{\infty} \frac{(-1)^\ell i x^{2\ell+1}}{(2\ell+1)!} = \cos(x)+i\sin(x)$ (reconociendo la serie de MacLaurin de seno y coseno).

Por lo tanto, $e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1+i0=-1$.

Así Euler dice, "yo no podía ayudarme a mí mismo. Serie de Taylor me hizo hacerlo de esa manera."

Answer 3

Uno de los muchos equivalente de las caracterizaciones de los / las definiciones de $e$ es este: $$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ Por lo tanto, para encontrar $e^{i\pi}$, podemos ver la cantidad de $$\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)^n$$ para los más altos valores de $n$ y ver lo que se aproxima. Recuerda que la multiplicación de números complejos obras de la adición de ángulos y multiplicando las longitudes, y observar que para cualquier dado $n$, tenemos $$\left\lvert1+\frac{i\pi}{n}\right\rvert>1,\qquad \mathrm{arg}\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)>0$$ so that as the value of $k$ increases, the complex number $\bigl(1+\frac{i\pi}{n}\bigr)^k$ will rotate counterclockwise in the plane by equal steps while growing in magnitude geometrically, forming a spiral shape. For any given $n$, the value of $\bigl(1+\frac{i\pi}{n}\bigr)^k$ at $k=n$ es lo que nos interesa, como se mencionó antes.
            

(Esta animación fue inspirado por la animación de la página de la Wikipedia sobre la identidad de Euler. Mientras matemáticamente genial, siempre he estado satisfecho con su calidad - es de baja resolución, no se auto-contenida, y utiliza el estilo predeterminado de Mathematica. Este es mi esfuerzo para hacer una mejor versión.)

Mi código de Mathematica:

MyLabel[text_, location_] := 
Gráficos[Texto[Estilo[TraditionalForm[texto],
 FontFamily -> "Linux Libertine", de 17 años, Negrita], ubicación]]; 

EulerPlot[n_] := 
Mostrar[ListLinePlot[
 Table[{Re[(1 + I Pi/n)^k], Im[(1 + I Pi/n)^k]}, {k, 0, n}], 
 PlotRange -> {{-2.6, 1.2}, {-0.2, 3.6}},
 Relación de aspecto -> 1,
 ImageSize -> {500, 500},
 PlotStyle -> Rojo,
 PlotMarkers -> Automático,
 AxesLabel -> {"parte Real", "parte Imaginaria"}, 
 AxesStyle -> 
 La Directiva[FontFamily -> "Linux Libertine", FontSize -> 15]], 
 MyLabel["Parcela de \
\!\(\*FormBox[\(TraditionalForm\`\*SuperscriptBox[\((1 + \
\*FractionBox[\(i \[DoubledPi]\), \(n\)])\), \(k\)]\),
 TraditionalForm]\)", {-1.6, 3.35}], 
 MyLabel ["\! \(TraditionalForm\ " k\) de 0 a \
\!\(TraditionalForm\n\)", {-1.6, 3.02}], 
MyLabel[DisplayForm[
 RowBox[{"\!\(TraditionalForm\`n\)", "\!\(TraditionalForm\` =\) ", 
 n}]], {-1.6, 2.65}]];

Exportación["animation.gif", 
 Tabla[EulerPlot[n], {n, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 25, 30, 
 40, 50, 100}}], "DisplayDurations" -> {0.75}, ImageResolution -> 80]

Answer 4

Vamos a intentarlo de otra forma, utilizando infinitamente pequeño distinto de cero y números infinitamente grandes enteros, como el de Euler, a menudo lo hacían. Deje $n$ ser infinitamente grande entero. Entonces $$ e^{i y} = \left(e^{i y/n}\right)^n = \left(1 + \frac{iy}{n}\right)^n. $$ Aquí es donde el último de identidad de: $w=e^z$ $dw=e^z\;dz$ donde $dz$ es un infinitamente pequeño cambio en $z$. En el caso que estamos considerando, $z$ cambios de $0$ $iy/n$y a las $z=0$ tenemos $e^z=1$$dw=dz= iy/n$. Ahora hay que hacer un binomio de expansión y donde vea un término como $$ \binom{n}{6}\left(\frac{iy}{n}\right)^6, $$ usted dice $$ \begin{align} \binom{n}{6} & = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{6!} \left(\frac{iy}{n}\right)^6 \\ \\ \\ & = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{n^6} \left(\frac{iy}{6!}\right)^6 \\ \\ \\ & = \left(\frac{iy}{6!}\right)^6, \end{align} $$ donde la última igualdad se sigue del hecho de que $n$ es infinitamente grande (en lenguaje moderno, el límite de la fracción como $n\to\infty$ es 1).

Entonces, justo cuando en el proyecto de Ley de Cocinar la respuesta (que yo upvoted), hemos dividido la parte real de la parte imaginaria y reconocer la serie para el seno y coseno.

Answer 5

Cómo sobre algunos de geometría:

Reales: $\mathbb{R}$ codificar 1 dimensiones de la geometría. Complejos: $\mathbb{C}$ codificar 2 dimensiones de la geometría. Cuaterniones: $\mathbb{H}$ codificar 3 dimensiones de la geometría.

"Además de = la Traducción" y "La Multiplicación = Escala/Rotación"

Específicamente, la multiplicación por una "unidad de longitud" número realizará una rotación. $e^{i\theta}$ gira números por $\theta$ radianes. Por lo tanto $e^{i\pi} \cdot 1 = -1$ (en el plano complejo).

[Descargo de responsabilidad: no pretendo que este es un buen camino para llegar a esta fórmula, pero creo que ayuda a entender cómo y por qué la fórmula de "obras".]