Libro de referencia para la teoría de Artin-Schreier

Question

El objetivo de la pregunta es muy simple, me gustaría estudio de Artin-Schreier Teoría, pero he tenido verguenza dificultades en encontrar un libro que me pueda ayudar en ello.

En específico, estoy buscando un libro que escribir explícitamente la principal teorema de Artin-Schreir Teoría, y tiene también una prueba de ello (o al menos un esbozo de ella) y tal vez también una breve introducción sobre el tema.

El más cercano llego en la materia es el libro de "Cohomology de los Campos de Número" de Neukirch, que se propone como una referencia de la página de la Wikipedia en Artin-Schreier Teoría. Pero no encaja con las peticiones que he hecho anteriormente.

Así que la pregunta es, ¿cuál es el nombre de un libro? O, si tal libro no existe, ¿tiene alguna sugerencia sobre cómo proceder?

Muchas gracias!

Answer 1

Deje $L/K$ ser un cíclica de Galois de la extensión de la orden de $p= char K$. Deje $\sigma$ ser un generador del grupo de Galois. Por la independencia de los caracteres' teorema (no recuerdo para que, si es debido a Dedekind, Kummer o incluso Artin), existe un elemento $x\in L^*$ tal que $z=x+\sigma(x)+\sigma^2(x)+\cdots+\sigma^{p-1}(x)\neq0.$ fijemos un elemento $x$. Tenga en cuenta que $z\in K$, debido a que es invariante bajo $\sigma$.

Escribir $$ y=(p-1)x+(p-2)\sigma(x)+\cdots+2\sigma^{p-3}(x)+\sigma^{p-2}(x)+0\cdot\sigma^{p-1}(x). $$ Vemos que $\sigma(y)=y+z$, por lo que si denotamos $u=y/z$, obtenemos $\sigma(u)=u+1$. Por lo tanto,$u\notin K$, lo $L=K(u)$. Fermat poco teorema nos dice que $p(T)=T^p-T=\prod_{i=0}^{p-1}(T-i)$$K[T]$. En el carácter $p$ tenemos $p(a+b)=p(a)+p(b)$ todos los $a,b\in L$. El polinomio mínimo de a $u$ es así $$ \prod_{i=0}^{p-1}(T-\sigma^i(u))=\prod_{i=0}^{p-1}(T(u+i))=p(T-u)=p(T)-p(u)= T^p-T+(-1)^p\prod_{i=0}^{p-1}(u+i), $$ por lo $L/K$ es de la forma.

Este es un aditivo analógica de la norma multiplicativo argumento (=punto de partida de Kummer teoría) nos dice que una extensión cíclica de grado $m$ es una raíz de la extensión, cuando el más pequeño campo tiene una raíz primitiva de la unidad de la orden de $m$.