Omar Khayyam es conocido por sus importantes avances en la resolución de ecuaciones polinómicas cúbicas. Por ejemplo, su biografía sobre www-history.mcs.st-andrews.ac.uk dice
(...) Este problema, a su vez, llevó a Khayyam a resolver la ecuación cúbica x^3 + 200x = 20x^2 + 2000 y encontró una raíz raíz positiva de esta cúbica considerando la intersección de una hipérbola rectangular y un círculo.
(...) En efecto, Khayyam produjo una obra de este tipo, el Tratado sobre la demostración de los problemas de álgebra que contenía una completa clasificación de las ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas encontradas por medio de de la intersección de las secciones cónicas.
Pero todavía no puedo ver el panorama de esos días. Posiblemente estoy omitiendo algo sobre la idea de las soluciones geométricas de las ecuaciones algebraicas, pero ¿por qué se esforzaban en encontrar las intersecciones de las secciones cónicas, y construir grandes esquemas de clasificación para ello? Si la idea era obtener un valor numérico de estas construcciones midiendo longitudes en el papel, podrían haber preparado simplemente una plantilla cuidadosa para la función $y = x^3$ , y luego resolvió todas las ecuaciones cúbicas intersectándola con una parábola, como en la figura siguiente para la ecuación mencionada.
Agradecería respuestas que aclaren mi confusión. ¿Es que no concibieron $y=x^3$ como una curva, si estuvieran interesados en obtener un valor numérico? ¿O se trataba de un reto conceptual para demostrar que todas las ecuaciones cúbicas pueden representarse como una intersección de dos secciones cónicas?
