Determinar medidas integrales

Question

¿Qué clases de funciones son suficientes para determinar si dos medidas son iguales? Si $$\int_{R^d} f d\mu =\int_{R^d} f d\nu $$ para algunas funciones $f$, cuando podemos decir que el $\mu=\nu$? Obviamente, si $f$ puede ser cualquier función del indicador de esto es fácil, pero hay un teorema para funciones continuas decir? También, ¿qué pasa si integramos a lo largo de más espacios comunes, por ejemplo, un espacio de Banach?

Gracias.

EDIT: pregunta Extra - de Acuerdo a Stefan en los comentarios, en el caso particular de la $(S,d)$ es un espacio métrico y ν μ y se Borel probabilidad de medidas, entonces el espacio de la no-negativo limitado y funciones continuas obras. Por favor puede alguien sugerir una buena referencia para este o una razón por la que esto es cierto?

Answer 1

Si es suficiente para comprobar la igualdad de integrales con $f(x) = e^{i\langle x,\theta\rangle}$ por cada $\theta \in \Bbb R^d$. Esto es la transformación de Fourier.

Las pruebas de esto y el resultado general por Stefan pueden encontrarse en de catorce Convergencia de medidas de probabilidad.

Answer 2

Deje $(S,d)$ ser un espacio métrico y dejar $\mu$, $\nu$ dos Borel medidas de probabilidad en $S$. Entonces $$ \int f\,\mathrm d\mu=\int f\,\mathrm d\nu,\;\forall\,f\in \mathrm{bC}(S)_+\ffi\mu=\nu. $$

Prueba: Supongamos que las integrales de cada función en $\mathrm{bC}(S)_+$ son idénticas. A continuación, mostrar $\mu=\nu$, es suficiente para demostrar que $\mu(U)=\nu(U)$ todos los $U\subseteq S$ abierto. Para cada una de las $n\geq 1$ definimos $$ f_n(x):=n\cdot d(x,U^c)\wedge 1,\quad n\geq 1. $$ A continuación, el $f_n$'s están delimitadas, no negativo y continua (de hecho son de Lipschitz continua) y $f_n\uparrow 1_U$ pointwise. Por lo tanto, $$ \mu(U)=\int 1_U\,\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f_n\,\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f_n\,\mathrm d\nu=\nu(U). $$

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Nos podemos relajar el supuesto de que $\mu$ $\nu$ necesitan ser medidas de probabilidad. El anterior también se mantiene en el más general de la creación, donde $\mu$ $\nu$ son sólo medidas que existe una secuencia $(A_n)_{n\geq 1}$ de abrir Borel conjuntos tales que $$ S=\bigcup_{n\geq 1}A_n,\quad \text{y}\quad \mu(A_n)=\nu(A_n)<\infty,\quad n\geq 1. $$