¿Qué es exactamente la transformada de Laplace?

Question

He estado trabajando en la transformada de Laplace por un tiempo. Puedo llevar a cabo cálculos con ella y es increíblemente útil. Pero no entiendo qué es exactamente y cómo funciona. Busqué en Google y descubrí que proporciona una visión de frecuencia "menos familiar".

¿Cómo proporciona la Transformada de Laplace una visión de frecuencia?

No entiendo la conexión entre $f(t)$ y $\mathscr{L}(f(t))$. Por ejemplo: si $f(t) = t$, $\mathscr{L}(t)={1 \over s^2}$

$f(t)$ proporciona una visión en tiempo, pero ¿cómo es que ${1 \over s^2}$ proporciona una visión de frecuencia? Alguien que me ayude a entender qué es exactamente. ¡Gracias!

¿Alguien puede explicarlo con algún fenómeno físico? ¿Como el oscilador armónico? $$ \ddot {x} + \omega_n x = f(t)$$

Answer 1

La transformada de Laplace es una herramienta útil para tratar con sistemas lineales descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias. Como se mencionó en otra respuesta, la transformada de Laplace está definida para una clase de funciones más grande que la transformada de Fourier relacionada.

El 'gran problema' es que el operador diferencial ('$\frac{d}{dt}$' o '$\frac{d}{dx}$') se convierte en una multiplicación por '$s$', por lo que las ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas. En otras palabras, la convolución en el dominio temporal o espacial se convierte en una multiplicación en el dominio 's'. Otra 'gran cosa', a menudo no mencionada, es que la transformada es única en cierto sentido (por ejemplo, si las transformadas de dos funciones continuas coinciden, entonces las funciones también coinciden en el dominio original). Por lo tanto, si puedes resolver el problema en el dominio 's', entonces lo has resuelto, en cierto sentido, en el dominio original. Existe una fórmula para la inversión, aunque normalmente se utilizan tablas para la inversión. Sin embargo, la fórmula de inversión muestra cómo los polos de las funciones transformadas se manifiestan en el dominio temporal o espacial.

La transformada de Laplace viene en algunas variedades; para aplicaciones de ingeniería, la más común es la transformación unilateral (el comportamiento para $t<0$ no es relevante). A menudo las transformadas de Fourier son utilizadas para resolver problemas de valores de contorno, mientras que las transformadas de Laplace se utilizan frecuentemente para resolver problemas de condiciones iniciales. Además, la transformada de Laplace captura de manera sucinta el comportamiento de entrada/salida de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales.

Respecto a la 'visión de frecuencia'; en lugar de pensar en la frecuencia como la $\omega$ en $\sin \omega t$, piénsela como una colección de puntos en $\mathbb{C}$ que caracteriza el comportamiento de $\hat{f} = \mathscr{L} f$. Por ejemplo, mira la transformada de Laplace de $f(t) = e^{\alpha t}$, que es $\hat{f}(s) = \frac{1}{s - \alpha}$. El único punto $\alpha$ (que puede ser complejo) caracteriza completamente el comportamiento en el dominio temporal. En general, los polos y ceros de $\hat{f}$ caracterizan el comportamiento en el dominio temporal de $f$. De manera muy general, si $\hat{f}$ tiene polos $p_1,...,p_n$, entonces esperamos comportamientos en el dominio temporal de las formas $e^{p_1 t},...,e^{p_n t}$ (los ceros y multiplicidades de polos de $\hat{f}$ complican un poco este punto de vista simplista). Entonces, piensa en las frecuencias (es decir, polos y ceros) como que caracterizan la estructura de $\hat{f}.

En tu pregunta, creo que te referías al sistema $\ddot {x} + \omega_n^2 x = f(t)$. La transformada unilateral es $$s^2 \hat{x}(s) -s x(0) - x'(0)+ \omega_n^2 \hat{x}(s) = \hat{f}(s),$$ donde $\hat{x}, \hat{f}$ son las transformadas de Laplace de $x,f$ respectivamente. Esta ecuación se suele escribir en la siguiente forma, que muestra la relación entre la entrada $\hat{f}$, las condiciones iniciales (temporales) $x(0), x'(0)$, y la salida $\hat{x}$: $$\hat{x}(s) = \frac{s x(0) + x'(0)}{s^2 + \omega_n^2} + \frac{\hat{f}(s)}{s^2 + \omega_n^2}.$$ Podemos ver que el término $\frac{1}{s^2 + \omega_n^2}$ 'contribuye' con dos polos (en $s = \pm i \omega_n$) situados en el eje imaginario a $\hat{x}$. Por lo tanto, esperamos (al menos) comportamientos que implican $t \mapsto \sin \omega_n t$ y $t \mapsto \cos \omega_n t$.

Si tomamos $f = 0$, puedes ver (es decir, buscar en una tabla de transformadas) que las condiciones iniciales se traducen en una función temporal de la forma $x(t) = x(0) \cos \omega_n t + \frac{x'(0)}{\omega_n} \sin \omega_n t$. Por lo tanto, en este problema particular, las condiciones iniciales 'permanecen' para siempre.

Si tomamos el sistema como en reposo inicialmente (es decir, tomamos las condiciones iniciales como cero), entonces necesitamos conocer $\hat{f}$ para calcular $\hat{x}$. Si tomamos $f(t) = e^{i \omega t}$ (admitiendo que no es real, pero es más fácil de calcular), tenemos $\hat{f}(s) = \frac{1}{s-i\omega}$, lo que da $\hat{x}(s) = \frac{1}{(s-i\omega)(s^2 + \omega_n^2)}$. Si tomamos $w \neq w_n$, entonces usando una expansión de fracciones parciales podemos escribir $\hat{x}(s) = \frac{1}{\omega_n^2 - \omega^2}(\frac{1}{s-i\omega} - \frac{s+i \omega}{s^2 + \omega_n^2})$, lo que da $x(t) = \frac{1}{\omega_n^2 - \omega^2}(e^{i \omega t} - \cos \omega_n t - i \frac{\omega}{\omega_n} \sin \omega_n t)$. Si $w = w_n$, entonces obtenemos $\hat{x}(s) = \frac{i}{2 \omega_n}(\frac{1}{s^2+\omega_n^2} - \frac{1}{(s-i\omega_n)^2} ) $, lo que corresponde a $x(t) = \frac{1}{2 w_n^2} \sin \omega_n t - \frac{i}{2 \omega_n} t e^{i \omega_n t}$. Observa que la respuesta en este caso es ilimitada, aunque la entrada está limitada. El término '$t$' surge debido al polo de multiplicidad 2 en $s = i \omega_n$.

Answer 2

¿Cuál es tu formación académica? ¿Eres un estudiante de Matemáticas, o de Física/Ingeniería?

El objetivo de la Transformada de Laplace es transformar ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) en ecuaciones algebraicas, lo cual facilita resolver ODEs. Sin embargo, la Transformada de Laplace ofrece más que eso: también proporciona información cualitativa sobre la solución de las ODEs (el ejemplo principal es el famoso teorema del valor final).

Debes tener en cuenta que no todas las funciones tienen una Transformada de Fourier. La Transformada de Laplace es una Transformada de Fourier generalizada, ya que permite obtener transformadas de funciones que no tienen Transformadas de Fourier. ¿Tu función $f(t)$ crece exponencialmente con el tiempo? Entonces no tiene FT. ¡No hay problema, solo multiplícala por una exponencial decreciente que decaiga más rápido de lo que crece $f$, y ahora tienes una función que tiene una Transformada de Fourier! La FT de esa nueva función es la LT (evaluada en una línea en el plano complejo paralela al eje imaginario).

Si eres un estudiante de ingeniería que primero encontró las Transformadas de Laplace en tu clase de Señales y Sistemas, entonces piensa en el nombre "señales y sistemas". Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) pueden ser descritos completamente por una respuesta al impulso, digamos $h(t)$. Transforma la respuesta al impulso con Laplace, y obtendrás la función de transferencia, $H(s)$. ¿Cuál es el punto? El punto es que las funciones exponenciales (incluyendo funciones exponenciales complejas y, así, senos y cosenos) tienen Transformadas de Laplace simples. Por lo tanto, puedes tomar una señal $x(t)$ y obtener su Transformada de Laplace $X(s)$. ¿Qué es $X(s)$? ¡Es la función de transferencia del sistema LTI cuya respuesta al impulso es $x(t)$ en sí misma! Tienes un sistema LTI que sirve como un "generador de señales", por así decirlo. ¿Quieres saber cómo responde un sistema LTI a un senoide? Transforma en Laplace el senoide, transforma en Laplace la respuesta al impulso del sistema, multiplica ambos (lo cual corresponde a concatenar el "generador de señales" con el sistema dado), y calcula la Transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta. En resumen: la Transformada de Laplace permite ver señales como los sistemas LTI que pueden generarlas.

¿Qué es la Transformada de Laplace? Citando a Tim Gowers: "un objeto matemático es lo que hace" ;-)

Answer 3

Si se usa $s=iw$ entonces la transformación se convierte en la transformada de Fourier. Luego se obtiene la frecuencia como $w=2\pi f$. Ahora puedes analizar la señal en el dominio de la transformada. En el dominio del tiempo tienes una señal que aumenta linealmente con el tiempo y en el dominio de la transformada el valor absoluto de la transformada tiende a $0$ cuando la frecuencia tiende a infinito. Esto significa que en la señal siempre hay un cambio.. pero no es abrupto y no es tan grande porque asintóticamente obtienes $0$ cuando $f\rightarrow \infty

Answer 4

Es fácil cuando te cuestionas cómo está relacionado el tiempo y la frecuencia. Recuerda que la frecuencia es el inverso del tiempo. Entonces, si la frecuencia es $a$, entonces el tiempo es $\frac{1}{a}$. Ahora, digamos que tienes un conjunto continuo de valores de tiempo, es decir, una función continua que representa los valores de "tiempo". Digamos que una cámara de alta tecnología registró la cantidad de meteoros en una región en el cielo. Supongamos que esa función es $y=t$, es decir, para cada segundo (cualquier unidad de tiempo apropiada) se encontró la misma cantidad de meteoros en esa región. Por ejemplo, a los $10$ segundos se encontraron $10$ meteoros, y así sucesivamente.

Ahora, ¿qué es la frecuencia? Es el inverso del tiempo. Así que en nuestro ejemplo diríamos cuántos meteoros se encontraron en esa región por segundo. Pero recuerda que anteriormente trazamos el tiempo vs la cantidad de meteoros. Ese gráfico está fijo. Olvídate de ese gráfico. Queremos un nuevo gráfico que nos diga cuál es la frecuencia correspondiente a los valores de tiempo. Nos gustaría trazar tiempo vs frecuencia. Gráfico de $a$ y $\frac{1}{a}$. Así que tomamos cada punto $x$ como valores de tiempo y cada punto $y$ como valores de frecuencia. Lo que preguntaste se puede graficar en un solo gráfico y entender fácilmente.

Ahora ves los valores de tiempo en el eje $x$ y los valores de frecuencia en el eje $y$. Toma cualquier valor en el dominio del tiempo y encuentra sus valores $y$. Obtendrás el valor de frecuencia correspondiente. Para $\text{tiempo } = 1$, $\text{frecuencia } = 1$. Como puedes ver, cuando el tiempo se acerca a $0$, la frecuencia tiende a infinito. No preguntes dónde están los meteoros en este gráfico, eso solo fue para explicar qué son en realidad los valores de tiempo. Luego puedes trazar frecuencia vs cantidad de meteoros.

Answer 5

Cada punto en el plano s debe evaluarse en la ecuación de la Transformada de Laplace, es decir, $$H(s) = \int_0^\infty h(t)e^{-st}dt$$ Dado que $t$ va de $0 \to \infty$, entonces $e^{-st}$ puede considerarse como una secuencia infinita.
Por lo tanto, el valor $s$ de $e^{-st}$ proporciona la ecuación que define esta secuencia, y la integral de $h(t)$ en esta secuencia genera una medida de $h(t)$ para esta secuencia.

Lo que aún no entiendo es por ejemplo, si $h(t) = \exp(+kt)$, entonces cuando $s = +k$, es decir, $$H(s=+k) = \int_{0}^\infty e^{+kt}e^{-st} dt = \infty$$ ¿importante?
Sí, dará el polo, pero ¿también lo harán todos los demás $s$ que estén fuera de la convergencia?