Cómo probar el fórmula cúbico sin extracción de raíz

Question

Estoy tratando de probar la cúbico fórmula, en la forma siguiente:

Dado un campo $F$$x,p,q\in F$, definir $m=\frac p3$$n=\frac q2$, y supongamos también que $\gamma,\tau$ se dan tales que $\gamma^2=n^2+m^3$$\tau^3=\gamma-n\ne0$. A continuación, $x^3+px+q=0$ si y sólo si $x=\omega\tau-\frac m{\omega\tau}$ algunos $\omega$ satisfacción $\omega^3=1$.

(Ya he reducido la declaración de la más general $ax^3+bx^2+cx+d=0$ por una transformación lineal.) El uso de $\gamma$ $\tau$ sustitutos para la extracción de cuadrados y raíces cúbicas, y me permite apegarse a tan solo campo axiomas de la prueba - idealmente quiero que esta prueba para trabajar en cualquier campo, con características de otros de $2$ o $3$.

Pero este método de trabajo con el método de Cardano me está dando algunos problemas. Desde la inversa implicación es sólo una cuestión de álgebra con las expresiones de $\tau,\gamma$, supongamos que se nos da $x$ tal que $x^3+px+q=0$; queremos encontrar una raíz de la unidad $\omega$ satisfacción $x=\omega\tau-\frac m{\omega\tau}$. La clave de Cardano del método es observar que las condiciones $u+v=x$, $uv+m=0$ junto con la condición de que se $x$ se obtiene un polinomio cuadrático $z^2+qz-m^3=0$ cuyas raíces son $u^3$, $v^3$, y la solución de este con la ecuación cuadrática da algo susceptible de una raíz cúbica de extracción.

Pero ¿por qué se elige como $u,v$ en el primer lugar? Equivalentemente, ¿por qué deberíamos esperar a priori que la "sustitución" $x=u-\frac mu$ tiene una solución en $u$? Se desprende de la fórmula cuadrática, con discriminante $x^2+4m$, pero no veo ninguna razón para creer que este es un cuadrado dado sólo$\gamma$$\tau$.

Si asumimos que hay un $\Delta^2=x^2+4m$, $u=\frac x2+\Delta$ $v=\frac x2-\Delta$ resolver las ecuaciones, por lo que podemos proceder como normal: $u^6+qu^3-m^3=0$, por lo que mediante la fórmula cuadrática con discriminante $q^2+4m^3=(2\gamma)^2$, obtenemos $u^3=-n\pm\gamma$$v^3=-n\mp\gamma$; en un caso se ha $u^3=\gamma-n=\tau^3$ $\frac u\tau$ deseada es la raíz de la unidad, y en el otro caso, $\frac v\tau$ deseada es la raíz de la unidad (desde $x=u-\frac mu=v-\frac mv$).

Answer 1

Su propiedad es cierto excepto posiblemente cuando $\gamma=0$, es decir, cuando $x^3+px+q$ tiene una raíz doble.

Si $\gamma\neq 0$, que $\Delta=\frac{(mx^2-nx+2m^2)}{\gamma}$ termines; Observe la identidad $$ (mx^2-nx+2m^2)^2=(n^2+m^3)(x^2+4m)+m(mx-2n)(x^3+px+q).$ $

Si $\gamma=0$ y $n=-\tau^3\neq 0$ por hipótesis y $x^3+px+q$ pueden ser reescrita como $x^3-3\tau^2x-2\tau^3=(x+\tau)^2(x-2\tau)$. Si es cierto $x=2\tau$ $\omega=1$, su propiedad. Si $x=-\tau$ sin embargo, su propiedad es verdad iff $F$ contiene una tercera raíz primitiva de la unidad. Esto es falso cuando $F={\mathbb Q}$ y $\tau=1$ por ejemplo.

Answer 2

$x^3+px+q$ no tienen en la mayoría de las tres raíces en la clausura algebraica de $F$.

Mientras tanto, dada la existencia de $\gamma$$\tau$, y si es necesario tomar $\omega$ en la clausura algebraica de $F$, podemos comprobar que cada uno de $\tau-\frac{m}{\tau}$, $\omega\tau-\frac{m}{\omega\tau}$, y $\omega^2\tau-\frac{m}{\omega^2\tau}$ son raíces. La caracterización de los tres a la vez como $\omega^i\tau-\frac{m}{\omega^i\tau}$, podemos ver: $$ \begin{align} &\left(\omega^i\tau-\frac{m}{\omega^i\tau}\right)^3+p\left(\omega^i\tau-\frac{m}{\omega^i\tau}\right)+q\\ &=\tau^3-3m\omega^i\tau+3\frac{m^2}{\omega^i\tau}-\frac{m^3}{\tau^3}+p\omega^i\tau-p\frac{m}{\omega^i\tau}+q\\ &=\tau^3-p\omega^i\tau+\frac{mp}{\omega^i\tau}-\frac{m^3}{\tau^3}+p\omega^i\tau-p\frac{m}{\omega^i\tau}+q\\ &=\tau^3-\frac{m^3}{\tau^3}+q\\ &=\gamma-n-\frac{m^3}{\gamma-n}+q\\ &=\gamma-n-\frac{m^3(\gamma+n)}{\gamma^2-n^2}+q\\ &=\gamma-n-\frac{m^3(\gamma+n)}{m^3}+q\\ &=\gamma-n-(\gamma+n)+q\\ &=-2n+q\\ &=0 \end{align} $$

Supongamos por el momento que las tres raíces que sólo se han demostrado son distintos. Entonces, si usted tuvo una $x$ que fue a raíz de la $x^3+px+q$, si $x$ $F$ o no, tiene que ser igual a uno de estos tres demostrado en las raíces, que son cada uno de la forma $$(\text{cubic root of $1$})\tau-\frac{m}{(\text{cubic root of $1$})\tau}$$ como se requiere.

Si los tres demostrado raíces no son distintos, hay un poco más para pensar.