¿Es lo contrario de la verdad del teorema de Cayley-Hamilton?

Question

La pregunta es motivado por el siguiente problema:

Deje $I\neq A\neq -I$ donde $I$ es la matriz identidad y $A$ es un auténtico $2\times 2$ matriz. Si $A=A^{-1}$, entonces la traza de $A$ es
$$ (A) 2 \quad(B)1 \quad(C)0 \quad (D)-1 \quad (E)-2$$

Desde $A=A^{-1}$, $A^2=I$. Si el converso de Cayley-Hamilton Teorema es verdadero, entonces $\lambda^2=1$ e lo $\lambda=\pm1$. Y, a continuación,$\rm{trace}(A)=1+(-1)=0$.

Aquí están mis preguntas:

1. Es $C$ la respuesta a la citada problema?
2. Es el recíproco de Cayley-Hamilton Teorema, es decir,"para la plaza real de la matriz de $A$ si $p(A)=0$, $p(\lambda)$ es el polinomio característico de la matriz $A$" verdad? Si no es así, entonces ¿cuál es el método correcto para resolver el problema anterior?

Answer 1

No, a la inversa de Cayley-Hamilton no es cierto para $n\times n$ matrices con $n\gt 1$; en particular, no para $2\times 2$ matrices.

Para un simple contraejemplo, aviso que si $p(A)=0$, a continuación, para cada múltiplo $q(x)$ $p(x)$ también tiene $q(A)=0$; por lo que se quiere enmendar el conversar a decir "si $p(A)=0$, $p(a)$ es un múltiplo del polinomio característico de a $A$". Pero incluso esa versión modificada es falso

Sin embargo, el único fracaso en la $2\times 2$ matriz caso son los múltiplos escalares de la identidad. Si $A=\lambda I$, $p(x)=x-\lambda$ satisface $p(A)=0$, pero el polinomio característico es $(x-\lambda)^2$, no $p(x)$.

Para los más grandes matrices, hay otras situaciones en las que incluso esta debilitado conversar falla.

El concepto que capta el "converse" de Cayley-Hamilton es el mínimo polynommial de la matriz, que es el monic polinomio $p(x)$ de menor grado tal que $p(A)=0$. A continuación, es fácil demostrar (mediante el algoritmo de la división) que si $q(x)$ es cualquier polinomio para que $q(A)=0$,$p(x)|q(x)$. (Tenga cuidado para justificar que si $m(x)=r(x)s(x)$,$m(A)=r(A)s(A)$; esto no es inmediata, porque la multiplicación de matrices no es en general conmutativa!) Por lo tanto tenemos:

Teorema. Deje $A$ $n\times n$ matriz $\mathbf{F}$, y deje $\mu(x)$ ser el polinomio mínimo de a $A$. Si $p(x)\in \mathbf{F}[x]$ es cualquier polinomio tal que $p(A)=0$, $\mu(x)$ divide $p(x)$.

El Cayley-Hamilton Teorema muestra que el polinomio característico es siempre un múltiplo de la mínima polinomio. De hecho, se puede demostrar que cada irreductible factor del polinomio característico debe dividir el polinomio mínimo. Así, para un $2\times 2$ matriz, si el polinomio característico se divide y tiene distintas raíces, entonces la característica y un mínimo de polinomio son iguales. Si el polinomio característico es irreductible cuadrática y estamos trabajando sobre $\mathbb{R}$, luego de nuevo por la mínima y características de los polinomios son iguales. Pero si el polinomio característico es de la forma $(x-a)^2$, entonces el polinomio mínimo es $(x-a)$ (cuando la matriz es igual a $aI$) o $(x-a)^2$ (cuando la matriz no es diagonalizable).

Como para la solución de este problema: si $\lambda$ es un autovalor de a $A$, e $A$ es invertible, entonces a $\lambda\neq 0$, e $\frac{1}{\lambda}$ es un autovalor de a $A^{-1}$: si $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ es tal que $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$, luego multiplicando ambos lados por $A^{-1}$ obtenemos $\mathbf{x} = A^{-1}(\lambda \mathbf{x}) = \lambda A^{-1}\mathbf{x}$. Dividiendo por $\lambda$ muestra $\mathbf{x}$ es un autovector de a $A^{-1}$ correspondiente a $\frac{1}{\lambda}$.

Desde $A=A^{-1}$, lo que significa que si $\lambda_1,\lambda_2$ son los autovalores de a$A$,$\lambda_1 = \frac{1}{\lambda_1}$$\lambda_2=\frac{1}{\lambda_1}$; por lo tanto, cada autovalor es $1$ o $-1$.

Si la matriz es diagonalizable, entonces no podemos tener a los dos por igual a $1$ (desde entonces $A=I$), y ambos no pueden ser igual a $-1$ (desde $A\neq -I$), por lo que un autovalor es $1$ y la otra es $-1$. Desde la traza de una matriz cuadrada es igual a la suma de sus valores propios, la suma de los autovalores es $0$.

¿Por qué es $A$ diagonalizable? Si tiene dos autovalores distintos, $1$$-1$, entonces no hay nada que hacer; sabemos que es diagonalizable. Si tiene un repetidas autovalor, decir $1$, pero $A-I$ no es la matriz cero, pick $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^2$ tal que $A\mathbf{x}\neq \mathbf{x}$; a continuación, $$\mathbf{0}=(A-I)^2\mathbf{x} = (A^2-2A + I)\mathbf{x} = (2I-2A)\mathbf{x}$$ por el Cayley Hamilton Teorema. Pero eso significa que $2(A-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$, contradiciendo nuestra selección de $\mathbf{x}$. Por lo tanto, $A-I=0$, lo $A=I$ $A$ es diagonalizable. Un argumento similar muestra que si $-1$ es el único autovalor, a continuación,$A+I=0$. . Se escondían detrás de ese párrafo es el hecho de que si el polinomio mínimo es squarefree y se divide, entonces la matriz es diagonalizable; desde $p(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$ es un múltiplo de la mínima polinomio, la matriz debe ser diagonalizable).

Para esto completa la prueba de que el seguimiento debe ser $0$, dado que el$A\neq I$$A\neq -I$.

Answer 2

1. Si $A^2 = 1$ entonces los valores propios de $A$ $\lambda^2 = 1$ debe satisfacer, así que son o $+1$ o $-1$. Como ambos pueden ser $+1$ o $-1$, debemos tener cada uno, y su suma (el rastro) es $0$.

2. Si $p(A) = 0$ $p(A)$ es divisible por el polinomio mínimo de $A$. Como un ejemplo extremo, tomar $A=0$. Entonces $p(A) = 0$ para las porciones de polinomios, pero el polinomio característico es $x \mapsto x^{\dim A}$.

Answer 3

La opción múltiple forma de responder esta es la nota que $\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ es un ejemplo de la traza $0$, así que si la pregunta es válida, entonces la respuesta debe ser C.

Si $p$ es un polinomio tal que $p(A)=0$, entonces es cierto que cada autovalor de a $A$ es un cero de $p$. Por si $\lambda$ es un autovalor de a $A$ con autovector $v$,$0=p(A)v=p(\lambda)v$, lo que implica $p(\lambda)=0$. A partir de esto, ustedes saben como Yuval ya se señaló que la posible autovalores son $1$$-1$.

El posible carácter polinomios son así $x^2-1$, $(x-1)^2$, y $(x+1)^2$. Para descartar los dos últimos casos, se puede considerar que las formas triangulares de $A$. Por ejemplo, tener polinomio característico $(x-1)^2$ implica que el $A$ es similar a una matriz de la forma $\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}$. Pero entonces la única manera para $A=A^{-1}$ a de ser cierto sería si $a=0$, contradiciendo la hipótesis de que la $A\neq I$.