Hallazgo

Question

¿Cómo puedo evaluar $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x \log(\sec{x}) \mathrm{d}x$?

Podríamos escribir $I$ $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x \log(1+\tan^2{x})$ y luego taylor ampliar para obtener $$\begin{align}I&=\int_{0}^{\pi/2} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{x \tan^{2n}{x}}{n} \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\int_{0}^{\pi/2}x \tan^{2n}{x} \mathrm{d}x\end{align}$ $ pero no sé qué hacer de aquí en adelante. Por favor me ayude a cabo. Gracias.

Answer 1

Podemos utilizar series de Fourier. $I=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ Tenemos: $$\log\sec t = \log 2 +\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}\cos(2nt)\tag{1}$ $ por lo tanto se deduce que: $$ I= \int_{0}^{\pi/2} t \log\sec t\,dt = \frac{\pi^2}{8}\log 2 + \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}\int_{0}^{\pi/2}t\cos(2nt)\,dt \tag{2}$ $ y: $$ I = \frac{\pi^2}{8}\log 2 + \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}\cdot\frac{-1+(-1)^n}{4n^2} = \frac{\pi^2}{8}\log 2 + \frac{1}{2}\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^3},\tag{3}$ $ así: $$ I = \frac{\pi^2}{8}\log 2 +\frac{7}{16}\zeta(3).\tag{4}$ $

Answer 2

El uso de $\log(\sec(x))=\log(1/\cos(x))=\underbrace{\log(1)}_{=0}-\log(\cos(x))$ $\cos(x)=\frac{1}{2}(e^{i x}+e^{-i x})$ podemos reescribir la integral como $$ I=-\int_0^{\pi/2}dx x\log \left[\frac{1}{2}\left(e^{i x}\left(1+e^{-2 ix}\right)\right)\right]=-\int_0^{\pi/2}dx\left[\log\left(\frac{1}{2}\right)x+ix^2+x\log(1+e^{-2ix})\right] $$ que los rendimientos de $$ I=-\log\left(\frac{1}{2}\right)\frac{\pi^2}{8} -i\frac{\pi^3}{24}-\underbrace{\int_0^{\pi/2}dxx\log(1+e^{-2ix})}_{J} $$

queda por calcular el $J$. Ampliar el logaritmo como una Serie de Taylor

$\log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}x^n$ , obtenemos

$$ J=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\int_0^{\pi/2}dxx e^{-2 i xn}=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}-\frac{i\pi}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\\-\frac{1}{2}\zeta(3)-\frac{3}{8}\zeta(3)-i\frac{\pi^3}{24} $$ Y por lo tanto

$$ I=\log(2)\frac{\pi^2}{8}+\frac{7}{16}\zeta(3) $$

Con la de Riemann Zeta función de $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$

Answer 3

Este es más bien un comentario de una respuesta, pero no tengo suficiente reputación para comentar, lo siento.

Mathematica evalúa esta integral a $1/16 (\pi^2 Log[4] + 7 \zeta[3])$. Nota el uso de la de Riemann-$\zeta$-función.

Esto me sugiere que la integral no puede ser resuelto de primaria. El uso de la expansión de Taylor es posible escribir esto como una expresión de lo que implica la definición de la integral-$\zeta$-función. De lo contrario, puede ser posible manipular hasta que uno consigue un conocido integral de identidad que involucra la definición de la integral-$\zeta$-función.