Estoy trabajando en el ejercicio 1(a) del capítulo 6 en do Carmo de la Geometría de Riemann:
Deje $M_1$ $M_2$ ser de Riemann colectores, y considerar que el producto $M_1\times M_2$, con el producto de la métrica. Deje $\nabla^1$ ser la de Riemann conexión de $M_1$ y deje $\nabla^2$ ser la de Riemann conexión de $M_2$. La parte (a): Mostrar que la de Riemann conexión de $\nabla$ $M_1\times M_2$ está dado por $\nabla_{Y_1+Y_2}(X_1+X_2) = \nabla_{Y_1}^1 X_1 + \nabla_{Y_2}^2 X_2$ donde $X_i,Y_i\in \Gamma(TM_i)$.
Por supuesto, la primera cosa es mostrar que $\nabla$ es una conexión en absoluto, y esto está resultando ser más sutil de lo que yo había pensado originalmente. Primero y ante todo, ésta no es inmediatamente claro que la fórmula que determina de forma única a $\nabla$, ya que el $\Gamma(T(M_1\times M_2))\supsetneq \Gamma(TM_1)\oplus \Gamma(TM_2)$.
Estoy teniendo problemas para mostrar que la regla de Leibniz $\nabla_X(fZ)=X(f)\cdot Z+f\nabla_XZ$ mantiene. Mi idea original era escribir $X=X_1+X_2$ $Z=Z_1+Z_2$ y, a continuación, calcular \begin{equation*} \nabla_X(fZ) = \nabla^1_{X_1}(fZ_1)+ \nabla^2_{X_2}(fZ_2) \end{ecuación*} \begin{equation*} = (X_1(f)\cdot Z_1 + f\nabla^1_{X_1}Z_1) + (X_2(f)\cdot Z_2 + f\nabla^2_{X_2}Z_2) = f\nabla_XZ + (X_1(f)Z_1+X_2(f)Z_2). \end{ecuación*} Pero este definitivamente no es el aspecto de lo que yo quiero. Esta es la derecha iff $X(f)Z = X_1(f)Z_1+X_2(f)Z_2$, que es sin duda no se va a celebrar en general. Por supuesto, esto no debería ser el correcto, porque no es como $Z=Z_1+Z_2 \in \Gamma(T(M_1\times M_2))$ va ha $Z_i$ se retiró de nuevo a través de las proyecciones.
Así que mi siguiente suposición era que en lugar de integrar el $X$ por una curva de $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow M_1\times M_2$, que incluso se puede suponer que es una geodésica (lo que significa que los proyectos para una geodésica en ambos factores). Luego, a lo largo de $\alpha$ puedo esperar para descomponer $Z=Z_1+Z_2$ donde $Z_i\in \Gamma(\alpha^* TM_i)$ (donde me estoy planteando $TM_i \rightarrow M_1\times M_2$ como subbundle de la tangente bundle $T(M_1\times M_2)$). En otras palabras, estoy esperando para girar a la $Z|_\alpha$ en una suma de pullbacks. Pero si puedo o no hacer (que yo no puede, en general, si $\alpha$ es constante en uno u otro factor), esto me da el mismo ecuaciones como la anterior, que tal como se dijo anteriormente es un problema.
En el párrafo anterior, creo que en realidad estoy modificando $f$ a ser un pullback demasiado, pero creo que esto debería estar bien ya que en última instancia lo único que importa es el valor de $fZ$ a lo largo de $\alpha$.
Así, las preguntas: (1) Es $\nabla$ se determina únicamente por la fórmula? (2) ¿Qué estoy haciendo mal?
