Muchas de las preguntas que he publicado en SE en el último mes han sido con el objetivo de ayudarme a resolver este problema en particular. Todas las preguntas han sido contestadas, pero todavía no puedo llegar a una solución. Por lo tanto, pensé que debería preguntar el problema que estoy tratando de resolver directamente.
Sea $X_n \sim F_n$ donde $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ , $F_0 = x$ , $c\geq 2$ (entero), y cada $F_n$ es una CDF sobre $(0,1)$ .
Quiero demostrar que $\mathbb{E}X_n$ disminuye con $n$ para todos $c$ (o incluso, para cualquier $c$ ¡)! Puedo demostrar que $F_n$ converge a una masa de Dirac en la solución única de $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ Para $c=2$ , $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ . Al observar un gráfico de las fdc para el aumento de $n$ 's para el mismo $c$ todas las fdc se cruzan en $x_n$ . El valor de $F(x)$ disminuye para valores de $x$ menos de $x_n$ y aumenta para valores de $x$ mayor que $x_n$ (como $n$ aumenta) convergiendo a una línea vertical en $x_n$ .
A continuación se muestra un gráfico de $\mathbb{E}X_n$ para $n = 1$ a $40$ para $c = 2$ a $7$ . Por supuesto, es un gráfico discreto, pero he unido las líneas para facilitar la visualización. Para generar este gráfico, utilicé NIntegrate en Mathematica, aunque tuve que hacerlo en $1-F^{-1}_n$ ya que por alguna razón Mathematica no podía generar respuestas en valores altos de $n$ para la función original. Las dos deberían ser equivalentes, según el teorema de Young, $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ . En mi caso, $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ , $F^{-1}_n = x$ .
Como puede ver, el $EX_n$ se desplaza muy rápidamente a una distancia minúscula de su punto fijo $x_c$ . En $c$ aumenta, el punto fijo disminuye (finalmente irá a 0).
Por lo tanto, parece ser cierto que $EX_n$ disminuye con $n$ para todos $c$ . Pero no puedo probarlo. ¿Alguien puede ayudarme? (de nuevo, yo sería algo feliz con incluso un solo $c$ ) Y, si no puede, pero tiene una idea de por qué este problema concreto puede ser irresoluble, por favor, compártala también.
