Demostrar que ninguno de estos elementos 11, 111, 1111, 11111... puede ser un cuadrado perfecto

Question

¿Cómo puedo demostrar que ningún número del conjunto S S = {11, 111, 1111, 11111...} es un cuadrado perfecto.

No tengo ni idea de cómo abordar este problema. Intenté reescribirlo en potencias de 10 pero eso no me llevó a ninguna parte...

Gracias de antemano.

Answer 1

Cada número es de la forma $(10^k - 1)/9$ . Por lo tanto, es un cuadrado perfecto si y sólo si $10^k - 1$ es un cuadrado perfecto. Pero fíjate que para $k \ge 2$ tenemos $10^k - 1 \equiv 3 {\pmod 4}$ y cada cuadrado es $0$ o $1$ modulo $4$ .

Answer 2

En primer lugar, observe que cada elemento de S puede reescribirse como

$4(25m+2) +3$ donde m es un número entero, el siguiente paso es darse cuenta de que todos los cuadrados dejan un resto de 1 o 0 cuando se dividen por 4.

Como $(2n)^2 = 4n^2$ que claramente deja un resto de 0 cuando se divide por 4

Y para las plazas de impar: $(2n-1)^2 = 4n^2 -4n +1$ que claramente deja un resto de 1 al dividir por 4.

Pero escribiendo cada elemento de S como $4(25m+2) +3$ vemos que deja un resto de 3 al dividirlo entre 4, por lo que nunca puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 3

Sugerencia : Observa que todos los números son $-1 \pmod 8$ excepto $11$ .

Answer 4

En base 3, $11111 = 102^2$ y en base 7, $1111 = 26^2$ . Así que no es cierto para las bases en general. En base 10, todos esos números son 3 módulo 4, que nunca es un cuadrado.