¿Por qué el electrón se mueve en una trayectoria elíptica?

Question

De acuerdo con El modelo atómico de Sommerfeld un electrón que se mueve alrededor de un núcleo central cargado positivamente es influenciado por la carga nuclear. Como resultado, el electrón se mueve en una trayectoria elíptica con el núcleo situado en uno de los focos. ¿Pero cómo el camino del electrón se vuelve circular a elíptico? Tengo problemas para entender esto.

Answer 1

El modelo de Sommerfeld, y el modelo de Bohr del que deriva, son modelos de juguete desarrollados en un intento de describir las líneas espectrales en la era anterior a la mecánica cuántica moderna. Tal vez le interese ver la pregunta ¿Es posible recuperar el antiguo modelo Bohr-Sommerfeld a partir de la descripción QM del átomo desactivando algunos parámetros? para saber más sobre esto.

Electrones no orbitan en torno a los átomos como los planetas en torno a una estrella, por lo que preguntarse si su trayectoria es circular o elíptica es una pregunta sin sentido.

Answer 2

Asumiré $X_i$ ser independiente.

Utilizando la identidad, para $a>0$ , $$ \frac{1}{a^2} = \int_0^\infty t \mathrm{e}^{-a t} \mathrm{d} t $$ Reescribe la expectativa como sigue: $$ \begin{eqnarray} \mathbb{E}\left( \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2} \right) &=& \int_0^\infty t \cdot \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2 \cdot \exp\left(-t \cdot \sum_{i=1}^n X_i\right) \right) \mathrm{d} t \\ &=& n \int_0^\infty t \cdot \mathbb{E}\left(X_1^2 \cdot \exp\left(-t \cdot \sum_{i=1}^n X_i\right) \right) \mathrm{d} t \\ &=& n \int_0^\infty t \cdot \left(\mathcal{M}_X(-t)\right)^{n-1} \cdot \mathcal{M}^{\prime\prime}_X(-t) \mathrm{d} t \\ &=& n \int_0^\infty t \cdot \left(1+\frac{t}{\lambda}\right)^{-k (n-1)} \cdot \frac{k(k+1)}{\lambda^2} \left( 1+ \frac{t}{\lambda}\right)^{-2-k} \mathrm{d} t \\ &\stackrel{\color\maroon{t \to \lambda u}}{=}& n k (k+1) \int_0^\infty \frac{t}{(1+t)^{k n +2}} \mathrm{d} t \\&\stackrel{t \to \frac{1-s}{s}}{=}& n k (k+1) \int_0^1 (1-s) s^{k n-1} \mathrm{d} s = n k (k+1) \left( \frac{1}{n k} - \frac{1}{n k+1} \right)\\&=& {\color\maroon{\frac{k+1}{k \cdot n +1}}} \end{eqnarray} $$ donde $\mathcal{M}_X(t)$ denota la función generadora de momentos de la $\Gamma(k,\lambda)$ distribución.

Answer 3

Teniendo en cuenta la forma en que las ondas de materia están asociadas a todas las partículas en movimiento, me parece inconcebible que los electrones no puedan moverse en otras órbitas que no sean las elípticas. Si se examinan detenidamente los efectos armónicos y de resonancia de las ondas de fase y de las ondas de materia, resulta evidente que tienen que moverse en órbitas elípticas para armonizarse como lo hacen. Hay que recordar que las ondas de grupo se componen de muchos miles, si no millones, de ondas de fase, que también tienen que armonizarse, a menos que los electrones viajen en órbitas elípticas, no pueden hacerlo.