Se ha demostrado en Cálculo avanzado de Angus Taylor, § 20.8, que
$$\log n!=\log \left( \left( \frac{n}{e}\right) ^{n}\sqrt{2\pi n}\right) +r_{n},$$
donde
$$r_{n}=\sum_{k=1}^{\infty }S_{k}$$
con
$$S_{k}=\sum_{p=n+1}^{\infty }\frac{k}{2(k+1)(k+2)p^{k+1}}.$$
Esta fórmula para $r_{n}$ proporciona un método para encontrar la estimación
$$\frac{1}{12\left( n+1\right) }<r_{n}<\frac{1}{12\left( n-1\right) }.$$
En efecto,
$$\frac{1}{k\left( n+1\right) ^{k}}=\sum_{p=n+1}^{\infty }\int_{p}^{p+1}\frac{% 1}{x^{k+1}}\mathrm dx<\sum_{p=n+1}^{\infty }\frac{1}{p^{k+1}}$$
$$\sum_{p=n+1}^{\infty }\frac{1}{p^{k+1}}<\sum_{p=n+1}^{\infty }\int_{p-1}^{p}% \frac{1}{x^{k+1}}\mathrm dx=\frac{1}{kn^{k}},$$
y así
$$\frac{1}{2(k+1)(k+2)\left( n+1\right) ^{k}}<S_{k}<\frac{1}{2(k+1)(k+2)n^{k}} $$
$$\frac{1}{12\left( n+1\right) }<\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{% 2(k+1)(k+2)\left( n+1\right) ^{k}}<r_{n}<\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{% 2(k+1)(k+2)n^{k}}<\frac{1}{12\left( n-1\right) }.$$
Añadido :El Artículo de Wikipedia señalado en el comentario da una aproximación basada en la fórmula de Euler-MacLaurin en términos de los números de Bernoulli y afirma que también se puede obtener por integración repetida por partes. La serie de Stirling que aparece en el mismo artículo es diferente a la anterior.
Pregunta (editado): ¿Existen mejores estimaciones de $r_{n}$ ¿se basan en métodos diferentes?
