Desengañado y escéptico como tú, yo odiaba el hecho de que la notación y la falta de sentido cuando me enteré de que en la escuela secundaria. Por ese motivo, me he decidido a escribir de 80 páginas sobre ello en mi Tesis de Licenciatura en Historia de la Matemática. El sujeto histórico de la Leibniziana de Cálculo es muy profundo y detallado, pero aquí voy a intentar arañar la superficie:
En algunos libros de texto $\frac{dy}{dx}$ es utilizado como notación para $f'(x)$. En ese sentido el medio escalón por debajo de
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{g(x)}{h(y)}\ffi h(y)dy=g(x)dx\ffi\int h(y)dy=\int g(x)dx+c
$$
realmente no tiene mucho sentido en sí mismo. Si $dx$ $dy$ fueron nunca se presentó formalmente como verdaderas entidades por sí mismo, esto tiene que ser una regla para la memorización.
Sin embargo, históricamente, $dx$ $dy$ recibieron significado de forma individual. Para cualquier variable $t$, Leibniz definió $dt$ para denotar el incremento infinitesimal en $t$ cuando se pasa de un estado a otro. De esa manera una variable $t$ pasó por sucesivas etapas
$$
t,t+dt,(t+dt)+(dt+ddt)=t+2dt+ddt,etc.
$$
con $dt+ddt$ ser el próximo estado de la (infinitesimal) de la variable $dt$ $ddt$ ser infinitamente menor que $dt$. Uno podría seguir para siempre en ese camino. Leibniz, a continuación, poner el principio, de que en cada nivel de un ser finito, infinito o infinitamente pequeño, el llamado fin del infinito, las variables que difieren sólo por un menor orden de infinito podría ser considerado igual.
Todo esto tuvo una estrecha relación con geométricas interpreations - por ejemplo, las líneas que apuntan en direcciones diferentes por un infinitesimal ángulo se considera paralelo. También, si $ds$ denota un segmento infinitesimal de una curva en las variables de $x,y$,$dx^2+dy^2=ds^2$, un infinitesimal versión del Teorema de Pitágoras, por lo que el $ds$ era considerado un segmento de línea recta en lugar de un segmento de la curva en ese entorno.
Como un ejemplo, dado $y=x^2$ tenemos $(y+dy)=(x+dx)^2$ desde el próximo etapas para $x,y$ también deben satisfacer la ecuación. Restando etapas consecutivas entonces tenemos:
$$
dy=(y+dy)-y=(x+dx)^2-x^2=2x\ dx+dx^2
$$
y por Leibniz del principio de $dx^2$ es infinitamente más pequeña que el resto y por lo tanto puede ser ignorada.
Si nos debería de haber hecho lo mismo en una moderna instalación, podríamos escribir $y=x^2$ tener
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=2x+\Delta x\rightarrow 2x
$$
y en ese sentido Leibniz $2x\ dx+dx^2=2x\ dx$ corresponde exactamente con el último paso que aquí se nos va al límite $\Delta x\rightarrow 0$. Tenga en cuenta que $\Delta$ es usado para denotar real de las diferencias finitas, mayor que cero, mientras que $d$ es usado para denotar infinitesimals.
Me gustaría decir que Leibniz trabajó permanentemente en el límite en algún sentido.
PRECAUCIÓN
Uno debe un poco catious aquí, sin embargo. La conexión entre Leibniz del cálculo y el moderno cálculo no puede ser tan simple como el ejemplo de $y=x^2\implies dy=2x\ dx$ sugeriría. Aunque tenemos la conexión perfecta $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ de esta forma, el siguiente paso
$$
f"(x)=\frac{ddy}{dx^2}
$$
no es siempre cierto. Es cierto sólo si asumimos $ddx=0$ que requiere un poco más profunda, introducción a Leibniz del cálculo para saber qué se entiende por que. También
$$
h(y)dy=g(x)dx\ffi\int h(y)dy=\int g(x)dx+c
$$
no es trivial encontrado para ser el límite de la relación de diferencias finitas:
$$
h(y)\Delta y=g(x)\Delta x\text{ y }\sum h(y)\Delta y=\sum g(x)\Delta x
$$
Una vez traté de probar algunos de conexión para la anterior, usando el Valor medio Teorema, que funcionó bien, pero no fue trivial.
Como observación final, tenga en cuenta también que Leibniz la idea de una variable continua creciendo a través de distintas etapas bien definidas ha sido problematizada. El estatus ontológico de infinitesimals fue muy discutido en los siglos después de Leibniz. Un obispo Berkeley, en la que también estaba versado en matemáticas, fue uno de los primeros críticos ridiculizar y llamar a Newton y Leibniz del infinitesimals Fantasmas de los Difuntos Cantidades.
