Por favor alguien puede decirme donde esta línea de razonamiento va mal?
Falsa prueba de la convergencia de la serie armónica alternante:
Salto de la serie a $S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \dots$ en los siguientes "subserie":
$S_1=1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - \dots$
$S_3=1/3 - 1/6 - 1/12 - 1/24 - \dots$
$S_5=1/5 - 1/10 - 1/20 - 1/40 - \dots$
$S_7=1/7 - 1/14 - 1/28 - 1/56 - \dots$
etc.
En primer lugar, parece que no hay término de la serie original se produce en más de una subserie. Si un término que ocurrió en más de una, entonces tendríamos $z \cdot 2^i= y \cdot 2^j$ donde $z$ $y$ son impares. Por lo $z \cdot 2^{i-j}=y$, y la única manera en que esto puede suceder es que si $i=j$$z=y$.
Segundo, parece que cada término de la serie original se puede encontrar en uno de los de la subserie. Tomar cualquier entero $k$ y se descomponen en $k=(2^i) \cdot z$ donde $z$ es impar. A continuación, el $k$ésimo término de la serie original se puede encontrar en la $i+1$ plazo de $S_z$.
Por lo tanto,$S=S_1 + S_3 + S_5 + S_7 + \dots$, y todas las $S_i=0$, lo $S=0$.
