De una forma monotónica, el lado izquierdo del límite y de la derecha, el límite existe en cada punto de [excepto en los extremos del intervalo, donde, por supuesto, sólo uno de los límites laterales existe]. Por lo tanto los límites laterales también existen en todas partes, para una diferencia de funciones monótonas, que es, para las funciones de variación acotada.
Por lo tanto una función de variación acotada sólo puede tener discontinuidades de salto, pero una función con discontinuidades de salto no tiene el valor intermedio de la propiedad, por lo que un derivado de [local] delimitada variación es continua.
Original demasiado complicado respuesta:
Desde $g$ $h$ son monótona (digamos monótonamente creciente), ambos pueden tener en el peor salto de discontinuidad, y en la mayoría de los countably muchos.
En los puntos donde se $g$ $h$ son continuos, la diferencia de $g-h$ es también continua.
Así que echemos un vistazo a un punto de $x\in [a,b]$ donde $g$ tiene una discontinuidad. Vamos
$$\rho_g = \inf \{ g(y) : y > x\} - g(x)\quad \text{and}\quad \lambda_g = g(x) - \sup \{g(y) : y < x\},$$
y definir $\rho_h,\lambda_h$ de forma análoga (si $x = a$$\lambda_g = \lambda_h = 0$, y para$x = b$,$\rho_g = \rho_h = 0$).
Si $\rho_g \neq \rho_h$, luego
$$g(x) - h(x) \neq \lim_{\delta \searrow 0} \bigl(g(x+\delta) - h(x+\delta)\bigr)$$
y $(g - h)\lvert_{[x,b]}$ tiene una discontinuidad de salto en $x$, lo que significa que $g-h$ no tiene el valor intermedio de la propiedad y no puede ser un derivado. El mismo argumento muestra que el $\lambda_g = \lambda_h$ si $g-h = f'$. Ahora vamos a
$$m(y) = \begin{cases}\quad 0 &, y < x \\ \quad\lambda_g &, y = x\\ \lambda_g + \rho_g &, y > x\end{cases}$$
y $\tilde{g} = g - m,\; \tilde{h} = h - m$. A continuación, $\tilde{g}$ $\tilde{h}$ son continuas en a$x$$f' = \tilde{g} - \tilde{h}$, lo que muestra que $f'$ es continua en a $x$.
