Mostrar que la función armónica es constante en $\mathbb{R}^n$

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta (esto es sólo para la práctica):

Si $u$ es armónico dentro de $\mathbb{R}^n$ con $\int_{\mathbb{R}^n}|Du|^2 dx \leq C$ para algunos $C > 0$ entonces demuestre que u es una constante en $\mathbb{R}^n$ .

Supongo que la idea es mostrar de alguna manera que $Du = 0$ lo que implica $u$ es constante, o bien demostrar que $u$ está acotado y por tanto es constante por el teorema de Liouville. Sin embargo, no veo cómo hacer esto. Por supuesto que si fuera en un dominio acotado $U$ Sé que podría utilizar la fórmula de integración por partes $$0 = - \int_U u \Delta u dx = \int_U |Du|^2 dx - \int_{\partial U} u^2 dS$$ lo que implicaría que $u$ está acotado ... pero entonces el teorema de Liouville no se aplica porque no está definido en todo $\mathbb{R}^n$ (creo).

¿Puede alguien indicarme la dirección correcta? (Además, por curiosidad, ¿existe algún tipo de análogo de la integración por partes para dominios no limitados?)

Answer 1

Si entiendo tu problema, estás intentando demostrar que una función armónica sobre $\mathbb R^N$ cuyo gradiente es $L^2(\mathbb R^N)$ es necesariamente constante.

En primer lugar, deberías señalar qué definición de función armónica utilizas; yo utilizaré el hecho de que una función continua $u$ que satisface la propiedad de la media es armónico (equivale a $u \in C^2$ y $\Delta u =0$ ). También destaco el hecho de que una función armónica es necesariamente $C^{\infty}$ (de hecho, analítico) - se puede ver fácilmente utilizando mollifiers.

Si $u$ es armónico, entonces $\partial_{x_i}u$ es armónico para cada $i=1,\ldots , N$ . De ello se desprende que $\nabla u$ tiene la propiedad de la media: usando Cauchy-Schwarz, $$ \vert \nabla u(x) \vert =\left\vert \frac{1}{\omega_N R^N}\int_{B(x,R)}\nabla u(y)dy \right\vert \leq \frac{1}{\omega_N R^N}\int_{B(x,R)} \vert \nabla u(y) \vert dy\leq \frac{\sqrt{\omega_N R^N}}{\omega_N R^N}\left(\int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|^2 dy\right)^{1/2}\leq\frac{||\nabla u||_2}{\sqrt{\omega_N R^N}} $$

Dejemos que $R \to + \infty$ y se obtiene $\nabla u(x)=0$ que es la reclamación. Espero que esto ayude (pero me temo que no se entienda bien la pregunta).

Nota: Si esto es correcto, podemos sustituir la hipótesis $\nabla u \in L^2(\mathbb R^N)$ con la más general $\nabla u \in L^p(\mathbb R^N)$ para algunos $p \in [1,+\infty]$ .

Answer 2

Este problema es realmente interesante y después de una larga búsqueda en Internet, he encontrado la solución del problema: Voy a publicar aquí los pasos cruciales para probarlo

I - Fórmula de Weitzenbock-Bochner

Para toda función armónica $u$ tenemos que $$\tag{1}\frac{1}{2}\Delta (|\nabla u|^2)=|\operatorname{Hess}(u)|^2$$

II - Otro Fomurla (esta es la fórmula para $\Delta(uv)$ .

$$\tag{2}|\nabla u|\Delta (|\nabla u|)=-|\nabla (|\nabla u|)|^2+\frac{1}{2}\Delta (|\nabla u|^2)$$

III - La desigualdad refinada de Kato

$$\tag{3}|\operatorname{Hess}(u)|^2-|\nabla (|\nabla u|)|^2\geq\frac{1}{n-1}|\nabla (|\nabla u|)|^2$$

para $x$ a.e. en el subconjunto denso abierto de $\mathbb{R}^n$ : $\Omega=\{x\in \mathbb{R}^n:\ |\nabla u|\neq 0\}$ .

IV - Ambrosio y Xavier Propuesta 2.1

Ahora, podemos demostrar la afirmación.

Al unirse a $(1)-(3)$ tenemos que $$\tag{4}|\nabla u|\Delta(|\nabla u|)\geq\frac{1}{N-1}|\nabla(|\nabla u|)|^2$$

en el sentido de las distribuciones. Porque el $L^2(\mathbb{R}^n)$ energía de $u$ está acotado, concluimos por IV que $|\nabla u|$ es constante y entonces $\nabla u(x)=0$ .

Observación: Todo lo que he hecho aquí se puede generalizar para los Múltiples. (ver Propuesta 6.1 ). Además, tal vez haya una prueba más directa de este hecho en el $\mathbb{R}^n$ ¡caso!