Número de soluciones de una matriz de la ecuación algebraica

Question

La lectura que, me encontré con que:

dada una matriz ecuación algebraica $$ X^n+A_1X^{n-1}+\cdots + A_n=0 $$ donde el cofficients $A_1\cdots,A_n$ así como soluciones de $X$ supone que la plaza de matrices complejas de orden $k$....... genéricamente se ha $\binom {nk}{k}$ lugar $n$ soluciones.

Alguien sabe ¿cómo podemos comprobar esta afirmación, o donde puedo encontrar una prueba?

Answer 1

Eche un vistazo a las páginas de 2,4,5 (Teorema 1) de mi siguiente trabajo (libre de publicidad) http://arxiv.org/abs/1304.2506

Una versión ligeramente diferente se presenta a LAA.

Responder a Emilio. 1. De hecho, una antigua versión (v2) está publicado en arXiv. Un reciente (v3) va a ser legible desde el 3 de Marzo.

2. Una solución simple tiene multiplicidad $1$. (cf. def. 3,ex. 1,def. 4,ex. 2).

3. El resultado es válido cuando se $A_1,\cdots,A_n$ son genéricos matrices (cf. def. 1). Por ejemplo, si usted escoger al azar a la $(A_i)_i$, entonces (excepto si son de muy mala suerte), se puede obtener el número requerido de soluciones simples.

4. Acerca de "... las matrices $X_h$ que son soluciones de la ecuación (1) son TODAS las matrices que tienen como valores propios...". "TODOS" es incorrecta: se elige $k$ valores entre el $nk$ raíces de (2); a continuación, construimos la única solución que admite estas $k$ valores como valores propios. En particular, la complejidad del problema (1) es la complejidad de la resolución de(2).

Answer 2

La respuesta a esta OP está en el artículo citado por @loup blanc. He añadido este post sólo para completar el inicial de la pregunta con una respuesta que sea fácilmente accesible a los lectores, que resume los principales resultados en el papel.

Parece que la afirmación de que una ecuación de la forma: $$ (1) \qquad A_nX^n+A_{n-1}X^{n-1}+\cdots + A_0=0 $$ (donde $A_i$ $X$ son cuadradas complejas matrices de orden $k$) $\binom {nk}{k}$ soluciones, fue encontrada por J. J. Sylvester, pero fue comunicada sin una prueba.

La prueba se administra en el citado trabajo se demuestra que las matrices $X_h$ que son soluciones de la ecuación de $(1)$ son matrices que tienen como valores propios $k$ números de $\{\lambda_i\}\quad (\lambda_1 \in \{1,\cdots,nk\})$ , donde el $\lambda_i$ son soluciones de la ecuación: $$ (2) \qquad \mbox{det}\left(\lambda^n A_n+ \cdots+\lambda A_1+A_0\right)=0 $$ que es, obviamente, una ecuación de grado $nk$, por lo que el $X_h$ son exactamente $\binom {nk}{k}$.

En el documento también se demostró que el grupo de Galois de $(2)$$S_{nk}$, por lo que las entradas de la solución de $(1)$ puede ser calculado por radicales si y sólo si $n=k=2$.