$ \int_0^\infty \ \frac{(x\cdot\cos x - \sin x)^3}{x^6} \ dx$

Question

¿Cuál es el valor de

$$ \int_0^\infty \ \frac{(x\cdot\cos x - \sin x)^3}{x^6} \ dx $$

No tengo idea de cómo empezar con esta integral, alguna sugerencia?

Answer 1

Usted puede utilizar la transformada de Laplace: $$\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{x^6}\right)=\frac{s^5}{120},\qquad \mathcal{L}\left((x\cos x-\sin x)^3\right) = \frac{31104-196992 s^2-94080 s^4-13440 s^6}{(s^2+1)^4(s^2+9)^4}$$ girar el original integral en $$ \frac{1}{120}\int_{0}^{+\infty}\frac{31104s^5-196992 s^7-94080 s^9-13440 s^{11}}{(s^2+1)^4(s^2+9)^4}\,ds $$ que por parciales de la descomposición de la fracción es igual a:

$$\color{red}{\frac{4-9\log 3}{40}}$$