La comprensión intuitiva de la unicidad del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Question

Básicamente estoy tratando de entender por qué el Teorema Fundamental de la Aritmética (TLC) existe, yo.e ¿por qué un número natural no puede ser factorizado primely en dos o más formas diferentes.

Hay dos pruebas dadas en la wikipedia en la página de la singularidad,

1. A través de Euclides del lema 2. Primaria de la prueba.

La segunda, es una prueba por contradicción. La razón fundamental detrás de esta prueba es una combinación de los dos hechos,

1. Que debe existir un número más pequeño que puede ser el único factorizados--tipo de presunción de TLC de la existencia finita número de números naturales--.
2. Un número primo no puede ser factorizado. (El contradicción que llegamos a la última es $p_1(k+1)=q_1$ pero $q_1$ fue supone el primer.)

El primer hecho tiene sentido para mí como: podemos ver esto por un número finito de números naturales por fuerza bruta, por ejemplo, podemos mostrar que los números del 1 al 15 puede ser el único factorizados haciendo todas las combinaciones posibles de los números de menos de 15.

Mi problema principal en esta primaria prueba de ello es el segundo hecho. No, no me dan una intuitiva satisfacción que se podría dar si no fuera la contradicción logrado, pero el punto de partida de nuestra prueba. El descubridor de esta elemental de la prueba debe tener al revés, yo.e sin contradicción. Él debería haber utilizado el hecho de $p_1(k+1)\neq q_1$ a demostrar la singularidad de los TLC(para números naturales sólo). No sé si realmente había, pero ¿es esto posible?

El valor intrínseco de hecho (precisamente la definición de un primer) que un prime no puede ser factorizado debe de alguna manera directamente implica la singularidad de los TLC. Si hay algún directa de la prueba matemática como eso, entonces eso me daría mucha satisfacción.

Para una comprensión completa de la primera prueba, he estudiado Euclides del lema-que necesita la identidad de Bezout--que más necesita el concepto de euclídea división. He leído todas las cosas cuidadosamente, pero todavía no estoy satisfecho con ellos. No puedo agarrarlo por alguna razón, que yo no sé.

Cómo una simple división de Euclides proceso puede implicar la Bezout de la identidad? Que es lo que es la razón subyacente (intuitivo)?

En la identidad de Bezout podemos ver que cualquier número de la forma $ax+by$ es de la misma forma como el recordatorio que se obtiene dividiendo $a$ (o $b$) $ax+by$ y el recordatorio de que debe ser de 0. Esta es la clase de la razón subyacente. Pero esto no es muy satisfactorio para mí. Es un extraño hecho! Cómo el descubridor de la prueba de Euclides de la lema sería saber que el hecho de que $ax+by$'s menos el valor es $\gcd(a,b)$ implica que Euclides del lema? ¿Hay alguna forma intuitiva de entender la cadena,
Euclides de la división de $\implies$ la identidad de Bezout $\implies$ Euclides del lexema.
O de cualquier forma intuitiva de entender directamente por qué Euclides del lexema existe.

No sé cómo ponerlo en palabras. Yo no soy de agarrar todas estas cosas. Todas estas pruebas matemáticas son sólo una manera de justificar la verdad, pero no proporcionan la respuesta a "¿por Qué es como es?"

Por favor, dime algunos exhaustiva explicación intuitiva de algún tipo, por lo que yo podía entender todo esto.

Gracias.

Answer 1

He aquí una prueba de la singularidad de los TLC por inducción que es diferente de la prueba de que usted cita de Wikipedia. Es debido a Zermelo, y no es tan conocida como las otras pruebas.

Supongamos que ya demostró su singularidad para todos los números de $<n$ y ahora están probando para $n$. Si $n$ es primo, no hay nada que demostrar. De lo contrario vamos a $p$ ser el menor divisor de $n$ que no es 1. Claramente $p$ debe ser un primo, de lo contrario no sería el más pequeño.

Pretendemos que cualquier forma de escribir $n$ como un producto de números primos debe incluir $p$. Si tenemos éxito en la demostración de esto, nuestro trabajo está hecho - ¿por qué? Porque si cualquiera de los dos factorisations de $n$ debe incluir, en ambos casos $p$, podemos tomar $p$, obtener un número menor, invocar la singularidad de la suposición inductiva y ver que el factorisations son en realidad la misma.

Considere la posibilidad de cualquier factorización $n=q_1*q_2*\dots*q_s$. Si $q_1=p$, hemos terminado. De lo contrario se puede formar un número $n'=p*q_2\dots*q_s$, donde hemos sustituido el primer factor $q_1$$p$. Debido a $p$ es el menor divisor, $n'$ debe ser menor que $n$. Tenga en cuenta que su diferencia puede ser escrito

$n-n' = (q_1-p)*q_2*\dots*q_s$

Sabemos que $p$ divide este número $n-n'$, ya que divide tanto a a$n$$n'$. Y este número es menor que $n$, así que por inductivo suposición de que sólo tiene una factorización, en el que $p$ deben participar. Pero mira el producto anterior: $p$ no divide $q_1-p$, por lo que la única forma de participar es por ser uno de los $q_2\dots q_s$, que es lo que queríamos demostrar.

Answer 2

El texto Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de los números por Irlanda y Rosen explica factorización única en el Capítulo 1. La forma de administrar única factorización en $\mathbb{Z}$ es mediante la definición de un operador $\operatorname{ord}_pn$ como el número de veces que un primer $p$ divide $n$ (es decir, $\operatorname{ord}_pn=k$ al$p^kq=n$$p\nmid q$). Este operador tiene la propiedad $\operatorname{ord}_p(ab)=\operatorname{ord}_p(a)+\operatorname{ord}_p(b)$, que se basa en las propiedades de los números primos (es importante destacar, que cuando se $p\mid ab$ entonces $p\mid a$ o $p\mid b$), que se derivan de la identidad de Bezout. Por supuesto, la factorización en números primos es una consecuencia de $\left|a\right|<\left|ab\right|$. Pero, a continuación, la singularidad de la siguiente manera a partir de la aplicación de $\operatorname{ord}_p$ a ambos lados de la factorización para cada uno de los prime que aparece, ya que $n=\prod_qq^{a_q}$ hace $\operatorname{ord}_p(n)=\sum_qa_q\operatorname{ord}_p(q)$, y al$p\neq q$,$\operatorname{ord}_p(q)=0$.

Me gusta esta manera de ir sobre él, debido a que hace más claro que los números primos forman una especie de base de los números enteros bajo la multiplicación. Usted es incluso un buen conjunto de homomorphisms que puede ser utilizado para el proyecto en base a esto!

Releyendo tu pregunta, me doy cuenta de que parecen haber perdido que estaban preocupados por el hecho de que un prime no puede ser tenidos en cuenta en la (menor) de los números primos. Esto es algo que está justo por definición: un primer (también "irreductible elemento") es un elemento que no tiene divisores. Que cada factorización se detiene con una lista limitada de factores sigue por el buen orden de los números naturales ("cada subconjunto de los números naturales tiene un elemento menos"), o por "la fuerte inducción." Suponga que hay una factorización prima de cada número a menos de $n$, a continuación, construir una factorización para $n$ sí mismo por cualquiera de destacar es el primer ya, o escribiendo como $n=ab$, y desde $a<n$$b<n$, ambas han factorizations, y por lo $n$ tiene uno, también.

Otra cosa que comentas es la identidad de Bezout. Aquí es un intento de comunicar mi intuición. Imagina que tienes dos números de $x$$y$, y tomar todos los múltiplos de estos dos números y colocarlos a lo largo de la recta numérica, los múltiplos de $x$ marcados con un punto rojo y los múltiplos de $y$ marcados con un punto azul. El máximo común divisor $d$ es un número tal que cada número con un color rojo o azul dot es un múltiplo de la misma. Es decir, si usted marcó todos los múltiplos de la DPC con un punto verde, donde hay un color rojo o azul dot, también hay un punto verde, y no hay más puntos verdes de lo necesario para que esto suceda. Observe que el azul, el rojo, y los puntos verdes son todos los espaciados de manera uniforme. En primer lugar, vamos a pedir, "¿qué es la división?" Esencialmente, la división de un número por $x$ es sobre la búsqueda de uno de los más cercanos puntos rojos a ese número, y un número se divide uniformemente por $x$ si el número tiene un punto rojo junto a él. De vuelta a la GCD: si usted puede localizar de donde el rojo y el azul puntos más se acercan sin que se superpongan, que la distancia es el MCD. Si el número con el punto rojo es $ax$ y el número con el punto azul es$by$,$|ax-by|=d$, la identidad de Bezout.

Su afirmación de que el hecho de que una prime no puede ser factorizado debe implicar única factorización no es cierto. Como he mencionado anteriormente, la definición de un primer es que no puede ser tomado en cuenta en números más pequeños, pero aquí hay otro número de sistemas en los que esto no es suficiente para dar únicos factorizations. Por ejemplo, si tiramos $\sqrt{-5}$ en los enteros, entonces $2$, $3$, $1+\sqrt{-5}$, y $1-\sqrt{-5}$ son todos primos, sino $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$, así que la única factorización no se sostiene.

Answer 3

Aquí está mi cadena de teoremas de teoría de números que conduce al Teorema Fundamental de la Aritmética; y se ignora la Identidad de Bezout, teniendo en cuenta sólo como un caso particular de un teorema más general.

Teorema. Cada entero tiene un divisor primo.
Teorema. Cada entero es un producto de números primos.
Teorema. Algoritmo De La División.
Teorema. El menos positivo combinación lineal de $a$$b$$gcd(a, b)$.
Teorema. Cada combinación lineal de $a$ $b$ es un múltiplo de a $gcd(a, b)$; y cada múltiplo de $gcd(a, b)$ es una combinación lineal de $a$$b$.
Teorema. Euclides del Lexema. Si $a$ divide $bc$$gcd(a, b) = 1$, $a$ divide $c$.
Teorema. El Teorema Fundamental de la Aritmética.

Yo no veo ninguna prueba por contradicción en cualquiera de estos teoremas. Y son bastante comprensible. El Teorema Fundamental de la Aritmética de la siguiente manera muy fácil de Euclides del Lexema. Considerar 2 descomposición en factores primos de un número entero, cancelar los primos comunes poderes, se quedarán con diferentes números primos en ambos lados. Cada uno prime sobre uno de los lados se divide otra prime sobre el otro lado (por Euclides del lema); lo que significa que son iguales.