¿Cómo se calcula el menor ciclo posible para una determinada forma de icono?

Question

Si se conecta juntos un montón de hexágonos regulares, que encajan juntos (como todo el mundo sabe), cada baldosa tiene seis vecinos. Hacer un gráfico de la conectividad de estas fichas, se puede ver que hay ciclos en todo el lugar. El más pequeño de los ciclos en este gráfico tiene tres nodos.

$f(\text{regular hexagon}) = 3$

Si el uso regular de los pentágonos, no totalmente azulejo el avión, pero ellos siguen formando ciclos. El más pequeño de los ciclos han de 6 nodos.

$f(\text{regular pentagon}) = 6$

Si el uso regular de heptagons, el más pequeño ciclo también parece requerir de 6 baldosas.

$f(\text{regular heptagon}) = 6$

Y es el mismo con nonagons, 6 de baldosas para un ciclo:

$f(\text{regular nonagon}) = 6$

Es allí una manera general para calcular el mínimo número de baldosas necesarias para formar un ciclo?

$f(\text{polygon}) = ?$

Idealmente, me encantaría encontrar un método que funcionó para cualquier equilátero no de intersección de polígonos, pero incluso un método que funciona para cualquier polígono regular sería genial.

^{_{Perdón por la crudeza de los dibujos.}}

Answer 1

Yo hice algunos experimentos para los polígonos regulares, para a $n=24$ (haga clic para agrandar):

Estos experimentos sugieren que

1. Si $6\vert n$ usted obtener un $3$-ciclo
2. Otra cosa si $2\vert n$ usted obtener un $4$-ciclo
3. Otra cosa que conseguir un $6$-ciclo

Que usted puede conseguir el $3$ciclo para cualquier cosa que tenga bordes alineados como un hexágono tiene es bastante obvio. Por otro lado, por razones de simetría, toda disposición de $3$ regular $n$-ágonos tiene que ser simétrica en $120°$ rotación, así que tienes que tener los hexagonal alinea los bordes de lo contrario no funcionará.

También es fácil ver que se puede obtener un $4$ciclo de si $4\vert n$, ya que la evidente disposición de plazas. El otro $4$-ciclos son más difíciles. La más sistemática (y bastante simétrica) la elección no sería una configuración donde dos polígonos se han opuesto vértices alineados con uno de los ejes, mientras que los otros dos polígonos tienen un eje perpendicular a la primera que pasa a través de los centros de los dos bordes opuestos. Algo como esto:

Ahora mismo no tengo ninguna respuesta obvia de por qué usted no puede conseguir a $4$-ciclos impares $n$, ni porqué $6$-ciclos son siempre posibles. Mirando los ángulos es fácil ver que la longitud del ciclo tiene que ser, incluso si $n$ es impar, por lo que una vez que el $4$-ciclos descartado para esos casos, el $5$-ciclos están fuera de la cuestión y el $6$-ciclos proporcionará la solución. Tal vez otros puedan construir más detallado de las respuestas con la ayuda de mis fotos.