¿Cómo encontrar el factorial de una fracción?

Question

Por lo que sé, la función factorial se define de la siguiente manera:

$$n! = n(n-1)(n-2) \cdots (3)(2)(1)$$

Y $0! = 1$ . Sin embargo, esta página parece estar diciendo que se puede tomar el factorial de una fracción, como, por ejemplo, $ \frac {1}{2}!$ que, según ellos, es igual a $ \frac {1}{2} \sqrt\pi $ debido a algo llamado la función gamma. Además, comienzan a obtener el factorial de los números negativos, como $- \frac {1}{2}! = \sqrt { \pi }$

¿Cómo es posible? ¿Cuál es la definición del factorial de una fracción? ¿Qué hay de los números negativos?

Intenté investigarlo en Wikipedia y demás, pero no parece haber una respuesta clara.

Answer 1

La función gamma está definida por la siguiente integral, que converge para los reales $s>0$ : $$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt.$$

La función también puede extenderse al plano complejo, si estás familiarizado con ese tema. Asumiré que no y dejaré que $s$ sea real.

Esta función es como el factorial en el cuando $s$ es un número entero positivo, por ejemplo $s=n$ se cumple que $\Gamma(n)=(n-1)!$ . Generaliza el factorial en el sentido de que es el factorial para argumentos enteros positivos, y también está bien definido para números racionales (e incluso reales) positivos. Esto es lo que significa tomar un "factorial racional", pero yo dudaría en llamarlo así. Muchas funciones tienen esas dos propiedades, y $\Gamma$ se elige entre todas ellas porque es la más útil en otras aplicaciones. En lugar de la notación utilizada en ese artículo al que te refieres, sería más exacto que dijeras que "la función gamma toma estos valores para estos argumentos". La gamma no es una función que pretenda generalizar los factoriales; más bien, la generalización de los factoriales surgió como una especie de accidente tras la definición. Su verdadero propósito es más profundo.

En cuanto a por qué $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ Esto se debe a una interesante propiedad del $\Gamma$ función: algunos de ellos están aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#Properties . La propiedad que te interesa es la fórmula de reflexión: $$\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}.$$ Establecer $z=1/2$ en la fórmula para obtener la identidad deseada.

Si quieres aprender más sobre la función gamma, el camino difícil es aprender muchas más matemáticas, en particular el análisis real y complejo. Una forma más fácil es leer este excelente conjunto de notas: http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html .

Answer 2

La función gamma, mostrada con una gamma mayúscula griega $\Gamma$ es una función que extiende la función factorial a todos los números reales, excepto a los enteros negativos y al cero, para los que no está definida. $\Gamma(x)$ está relacionado con el factorial en el sentido de que es igual a $(x-1)!$ . La función se define como

$$\Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}$$

Simplemente utiliza esto para calcular los factoriales de cualquier número. Una forma práctica de calcular para fracciones reales con denominadores pares es:

$$\Gamma(\tfrac12 + n) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi}$$

Dónde n es un número entero. Pero ten en cuenta que la función gamma es en realidad el factorial de 1 menos del número que evalúa, así que si quieres $\frac{3}{2}!$ utilice n \= 2 en lugar de 1.

O bien, puedes poner la fracción en la Calculadora de Google, que utiliza la función gamma para evaluar los factoriales de cualquier número.

Para ver más ejemplos de los valores de la función gamma, consulte aquí .

(Si no entiendes esto, no te preocupes, porque yo tampoco lo entiendo, y el artículo de Wikipedia sobre la función parece carecer de una definición clara de la misma o de su relación con $\sqrt{\pi}$ .)

Answer 3

Mientras que la respuesta incuestionable es la de Euler $\Gamma$ Pero todavía me pregunto cuál podría ser la explicación intuitiva de por qué es así.

Creo que, de alguna manera, es más comprensible para la función Beta, estrechamente relacionada, y en vista de la fórmula que envuelve al seno mencionada en la respuesta por neuguy arriba.

Mira $\sin(\pi z)$ . Sus ceros son precisamente todos enteros. Por eso es periódico: tiene que volver a cero en cada número entero, y exactamente de la misma manera que en cualquier otro número entero.

De hecho hay una fórmula (creo que de Euler) $$\cdots(1-\frac z{-3})(1-\frac z{-2})(1-\frac z{-1})z(1-\frac z1)(1-\frac z2)(1-\frac z3)\cdots=\frac1\pi\sin(\pi z)$$ reflejando precisamente eso.

Ahora supongamos que queremos averiguar qué pasará si excluimos $0$ , $1$ , ..., $n$ del conjunto de ceros. La función resultante seguirá siendo cero en todos los demás enteros, mientras que en el intervalo $-1<z<n+1$ se "disparará" en la medida en que lo hayamos liberado de ser cero. Y resulta que la medida precisa de este "bache" viene dada por los coeficientes binomiales.

A saber, que $$F_n(z):=\cdots(1-\frac z{-3})(1-\frac z{-2})(1-\frac z{-1})(1-\frac z{n+1})(1-\frac z{n+2})(1-\frac z{n+3})\cdots=\frac{\frac1\pi\sin(\pi z)}{z(1-\frac z1)(1-\frac z2)\cdots(1-\frac zn)},$$ entonces resulta que $F_n(z)=\binom nz$ .

Por ejemplo:

\begin {array}{rcl} z & F_4(z) & \textrm {(numéricamente)} \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ -2 & 0 & 0. \\ -1.75 & - \frac {4096 \sqrt {2}}{168245 \pi } & -0.0109593 \\ -1.5 & - \frac {256}{3465 \pi } & -0.0235173 \\ -1.25 & - \frac {4096 \sqrt {2}}{69615 \pi } & -0.0264864 \\ -1 & 0 & 0. \\ -0.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{21945 \pi } & 0.0840213 \\ -0.5 & \frac {256}{315 \pi } & 0.25869 \\ -0.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{3315 \pi } & 0.556214 \\ 0 & 1 & 1. \\ 0.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{1155 \pi } & 1.59641 \\ 0.5 & \frac {256}{35 \pi } & 2.32821 \\ 0.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{585 \pi } & 3.15188 \\ 1 & 4 & 4. \\ 1.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{385 \pi } & 4.78922 \\ 1.5 & \frac {256}{15 \pi } & 5.43249 \\ 1.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{315 \pi } & 5.85349 \\ 2 & 6 & 6. \\ 2.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{315 \pi } & 5.85349 \\ 2.5 & \frac {256}{15 \pi } & 5.43249 \\ 2.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{385 \pi } & 4.78922 \\ 3 & 4 & 4. \\ 3.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{585 \pi } & 3.15188 \\ 3.5 & \frac {256}{35 \pi } & 2.32821 \\ 3.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{1155 \pi } & 1.59641 \\ 4 & 1 & 1. \\ 4.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{3315 \pi } & 0.556214 \\ 4.5 & \frac {256}{315 \pi } & 0.25869 \\ 4.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{21945 \pi } & 0.0840213 \\ 5 & 0 & 0. \\ 5.25 & - \frac {4096 \sqrt {2}}{69615 \pi } & -0.0264864 \\ 5.5 & - \frac {256}{3465 \pi } & -0.0235173 \\ 5.75 & - \frac {4096 \sqrt {2}}{168245 \pi } & -0.0109593 \\ 6 & 0 & 0. \\ 6.25 & \frac {4096 \sqrt {2}}{348075 \pi } & 0.00529727 \\ 6.5 & \frac {256}{15015 \pi } & 0.00542706 \\ 6.75 & \frac {4096 \sqrt {2}}{648945 \pi } & 0.0028413 \\ 7 & 0 & 0. \\ \vdots & \vdots & \vdots \end {array}

La forma en que todo esto se relaciona con los factoriales y $\Gamma$ debe estar claro - uno tiene $$\binom nz=\frac{n!}{z!(n-z)!},\ \Gamma(x)=\frac{x!}x$$ y $$\mathrm B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$$ En otras palabras, $1/\Gamma(z)$ tiene ceros precisamente en los enteros no positivos, por lo que $1/\Gamma(k-z)$ tiene ceros precisamente en $k$ , $k+1$ , $k+2$ ..., por lo que si queremos combinarlas para una función con ceros en todos los enteros excepto $0$ , $1$ , ..., $n$ debemos tomar $\frac1{\Gamma(1+z)\Gamma(n+1-z)}$ que resulta ser $\frac1{n!}\binom nz$ .

Answer 4

Una primera idea que se me ocurre para definir el factorial de un número fraccionario es la interpolación: conociendo los valores en dos enteros sucesivos, los valores entre éstos deben ser intermedios (mirando la "curva", se ve que crece -muy rápido- pero suavemente).

Por ejemplo, se podría estimar que $3.1! = 3! + 0.1\times(4!-3!)=7.8$ .

Esto no parece muy preciso. Al considerar los valores de $\ln n!$ se ve una tendencia mucho más cercana a una línea recta.

Así que para una mejor "precisión", puedes imaginar que la curva es una exponencial y hacer la interpolación en los logaritmos: $\ln 3.1!=\ln 3!+0.1(\ln 4!-\ln 3!)\implies 3.1!=6.8921\cdots$

También puede aumentar el número de puntos utilizados para la interpolación, con la fórmula lagrangiana que calcula un polinomio de mayor grado.

De todos modos, esto es bastante empírico y no conduce a una definición satisfactoria con propiedades interesantes. Los matemáticos lo han resuelto de otra manera: han encontrado identidades (como la evaluación de integrales $\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=n!$ ) que se puede demostrar que es igual a $n!$ cuando $n$ es un número entero, y sigue teniendo sentido cuando $n$ no lo es.

Así que empezaron a usar esto como definición del factorial

$$n!=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx.$$

Con esta fórmula, se obtiene $3.1!=6.812622863\cdots$

La extensión a los valores negativos es todavía una historia diferente. Si se considera la definición recursiva del factorial, $(n+1)!=(n+1)n!$ que permite calcular valores cada vez más grandes, se puede invertir como $(n-1)!=\dfrac{n!}n$ . Yendo hacia atrás, se llega a los negativos. Entonces, tendrás una sorpresa para los enteros negativos...

Answer 5

He derivado una forma de la función gamma ( ver aquí ) utilizando algunos cálculos y pequeños trucos.

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De todos modos, define el factorial con dos condiciones:

1. $n!=n(n-1)!$

2. $1!=1$

A partir de esto, puedes obtener el factorial para cualquier valor entero, pero no hace nada para mostrarte los valores fraccionarios, al menos no todavía.

Definir una función $f(x):=\ln(x!)$ y manipular de la siguiente manera:

$$f(x)=\ln(x!)=\ln(x(x-1)!)=\ln((x-1)!)+\ln(x)=f(x-1)+\ln(x)$$

$$f(x)=f(x-1)+\ln(x)\tag1$$

Diferencie ambos lados (ya que la ecuación es válida para todos los $x$ )

$$f'(x)=f'(x-1)+\frac1x\tag2$$

Si pones $x-1$ en $(2)$ obtenemos $f'(x-1)=f'(x-2)+\frac1{x-1}$ y repetir este proceso una y otra vez...

$$f'(x)=f'(x-2)+\frac1{x-1}+\frac1x$$

$$f'(x)=f'(x-3)+\frac1{x-2}+\frac1{x-1}+\frac1x\\\vdots\\f'(x)=f'(0)+\frac11+\frac12+\dots+\frac1{x-1}+\frac1x\tag3$$

Tenga en cuenta que $(3)$ sólo es válida para los números enteros $x$ Al igual que el factorial, pero es mucho más fácil de generalizar.

Recordemos la suma geométrica:

$$\frac{1-r^n}{1-r}=1+r+r^2+\dots+r^{n-1}$$

Integrar ambos lados con respecto a $r$ de $0$ a $1$ ,

$$\begin{align} \int_0^1\frac{1-r^n}{1-r}dr & =\int_0^11+r+r^2+\dots+r^{n-1}dr\\ & =\left.\frac11r+\frac12r^2+\frac13r^3+\dots+\frac1nr^n\right|_0^1\\ & =\frac11+\frac12+\dots+\frac1{x-1}+\frac1x\tag4\\ \end{align}$$

Esto es exactamente lo que necesitamos para ampliar $(3)$ a la arbitrariedad $x$ :

$$f'(x)=f'(0)+\int_0^1\frac{1-r^x}{1-r}dr\tag{3.1}$$

A continuación, integramos esto y aplicamos el FTOC:

$$f(x)-\require{cancel}\cancelto0{f(0)}=\int_0^x\left(f'(0)+\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\right)d\phi$$

$$f(x)=f'(0)x+\int_0^x\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\ d\phi$$

Recuerde lo que $f(x)$ era:

$$\ln(x!)=f'(0)x+\int_0^x\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\ d\phi$$

Utilice la segunda condición del factorial y $x=1$

$$\ln(1!)=f'(0)+\int_0^1\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\ d\phi$$

$$f'(0)=-\int_0^1\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\ d\phi\tag5$$

Entonces,

$$x!=\exp\left[-x\int_0^1\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\ d\phi+\int_0^x\int_0^1\frac{1-r^\phi}{1-r}dr\ d\phi\right]$$

que es equivalente a la función gamma.