Un conjunto de 200 personas, formado por 100 hombres y 100 mujeres, se divide al azar en 100 parejas de 2 personas cada una. Diga una cota superior a la probabilidad de que a lo sumo 30 de estas parejas estén formadas por un hombre y una mujer.
Pretendo utilizar la desigualdad de Chebyshev para resolverlo, pero resulta que la dist. de prob. para el nº de parejas formadas por un hombre y una mujer es difícil de encontrar.
¿Alguien tiene alguna idea al respecto? Muchas gracias.
La desigualdad de Chebyshev es el camino a seguir en este caso, aunque es excesivamente conservador. Siguiendo la sugerencia de André, el número de parejas $X$ se escribe como $X=\sum_{i=1}^{100}X_i$ donde $X_i$ es el indicador de si la mujer $i$ se empareja con un hombre. Estas variables aleatorias son intercambiables, lo que reduce un poco los cálculos.
Es fácil ver que $\mathbb{E}(X_i)=100/199$ ya que hay 100 hombres de 199 personas para elegir como pareja de la mujer $i$ . Por lo tanto, el número medio de parejas es $$\mathbb{E}(X)=100\times {100 \over 199}=50.251.$$
Para obtener la varianza, primero calculamos $\mathbb{E}(X_i X_j)=(100/199)(99/197)$ cuando $i\neq j$ . Por lo tanto, $$ \mathbb{E}(X^2)=\sum_i \mathbb{E}(X_i)+\sum_{i\neq j} \mathbb{E}(X_i X_j) =\left(100\times {100 \over 199}\right)+\left(100\times 99\times {100\over199}{99\over 197}\right).$$ Esto nos da $$\mbox{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)- \mathbb{E}(X)^2= {196020000\over 7801397}= 25.12626905.$$
Por la desigualdad de Chebyshev obtenemos $$\mathbb{P}(X\leq 30)\leq {\mathbb P}(|X-\mathbb{E}(X)|\geq 30-50.251)\leq {\mbox{Var}(X)\over(30-50.251)^2}=.0612.$$ Esto le da un límite superior.
De hecho, se puede calcular la probabilidad exacta probabilidad de la siguiente manera. Primero para $1\leq m \leq 100$ tenemos $$\mathbb{E}(X_{1}X_{2}\cdots X_{m})={100\over 199}\times{99\over 197}\times \cdots\times{101-m\over 201-2m}.$$ Por intercambiabilidad, la probabilidad es la misma para cualquier conjunto de $m$ índices distintos.
Utilizando la fórmula de exclusión de la inclusión $$\mathbb{P}(X\geq k)=\sum_{m=k}^{100}(-1)^{m-k}{m-1\choose m-k}{100\choose m}\mathbb{E}(X_{1}X_{2}\cdots X_{m}),$$ encontramos que la probabilidad de que haya 31 o más parejas es $$\mathbb{P}(X\geq 31)={41119425293581046683159071975854440009966486028288 \over 41121343590504031983862003937481222553223476334365}=.9999533503.$$ El exactamente La probabilidad de que no haya más de 30 parejas es, por tanto, de sólo $.0000466497$ .
Haciendo dos columnas, una para el elemento izquierdo de cada par, otra para el derecho, hay $\binom{100}{k}$ formas de tener $k$ hombres y $100-k$ mujeres en la columna de la izquierda.
Para cada disposición de $k$ hombres de la izquierda, hay $\binom{k}{n}$ formas de combinar $n$ hombres y $k-n$ mujeres en la columna de la derecha con el $k$ hombres en la columna de la izquierda. Hay $\binom{100-k}{n}$ formas de combinar $n$ mujeres y $100-k-n$ hombres en la columna de la derecha con el $100-k$ mujeres en la columna de la izquierda.
Por lo tanto, hay $\binom{100}{k} \binom{k}{n} \binom{100-k}{n}$ formas de conseguir $100-2n$ parejas hombre-mujer con $k$ hombres en la columna de la izquierda. Teniendo en cuenta las permutaciones de los $200$ tomado $100$ a la vez, el número total de arreglos debe ser $\binom{200}{100}$ . Comprobemos $$ \begin{align} \sum_k\sum_n \binom{100}{k} \binom{k}{n} \binom{100-k}{n} &= \sum_k \binom{100}{k} \binom{100}{k}\\ &= \binom{200}{100} \end{align} $$ Ahora el número de acuerdos con $100-2n$ parejas hombre-mujer es $$ \begin{align} \sum_k \binom{100}{k} \binom{k}{n} \binom{100-k}{n} &= \sum_k \binom{100}{2n} \binom{2n}{n} \binom{100-2n}{k-n}\\ &= \binom{100}{2n} \binom{2n}{n} 2^{100-2n} \end{align} $$ Así, la probabilidad de obtener exactamente $100-2n$ parejas hombre-mujer es $$ \frac{\binom{100}{2n} \binom{2n}{n} 2^{100-2n}}{\binom{200}{100}} $$ Suma para $n=35\dots50$ da la probabilidad de obtener como máximo $30$ parejas hombre-mujer para ser $p=.000046649665489730847082$ .
Curiosamente, la probabilidad de coincidir como máximo con $48$ parejas hombre-mujer es $p=.40103407701938908115$ y la probabilidad de coincidir como máximo $50$ parejas hombre-mujer es $p=.55961680234890506571$ .
Que haya $n$ hombres y $n$ mujeres. Considere un emparejamiento con $k_{m,m}$ parejas hombre-hombre, $k_{w,w}$ parejas mujer-mujer, $k_{m,w}$ y $k_{w,m}$ parejas de sexos opuestos. Número total de parejas $k_{m,m}+k_{w,w}+k_{m,w}+k_{w,m} = n$ . Número total de hombres y mujeres respectivamente $2 k_{m,m} + k_{m,w}+k_{w,m} = n$ y $2 k_{w,w} + k_{m,w}+k_{w,m} = n$ . De ello se desprende que $k_{m,m}=k_{w,w}$ . Esta configuración se puede construir dividiendo $n$ hombres en $\binom{n}{2 k_{m,m}}$ particiones de $2 k_{m,m} + (n-2k_{m,m})$ También en el caso de las mujeres. $2 k_{m,m}$ los hombres se permutan en $(2k_{m,m})!$ maneras, y los hombres restantes permutados en $(n-2k_{m,m})!$ formas. Resultado: $n$ Los pares se pueden reordenar en $\mathrm{multinom}(k_{m,m},k_{w,w}, k_{m,w}, k_{w,m})$ formas.
Así que tenemos
$$ (2n)! = \sum_{k_{m,m}, k_{m,w}, k_{w,m} >=0 } \chi_{2 k_{m,m}+k_{m,w}+k_{w,m}=n} \left( \binom{n}{2 k_{m,m}} (2k_{m,m})! (n- 2k_{m,m})! \right)^2 \mathrm{multinom}(k_{m,m},k_{w,w}, k_{m,w}, k_{w,m}) $$
Que es
$$ 1 = \frac{1}{\binom{2n}{n}} \sum_{k_{m,m}, k_{m,w}, k_{w,m} >=0 } \chi_{2 k_{m,m}+k_{m,w}+k_{w,m}=n} \mathrm{multinom}(k_{m,m},k_{w,w}, k_{m,w}, k_{w,m}) $$
Ahora, para encontrar la probabilidad solicitada, restringimos la suma a $k_{m,w}+k_{w,m} <= 30$ . Esto da
In[114]:= With[{n = 100}, (n!)^2/(2 n)! Sum[
Boole[2 k + m + w == n] Boole[m + w <= 30] Multinomial[k, k, m,
w], {k, 0, n}, {m, 0, n}, {w, 0, n}]]
Out[114]= \
1918296922985300702931961626782543256990306077/\
41121343590504031983862003937481222553223476334365que aproximadamente es $0.0000466497$ .
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