Cíclico espacios y S^1-equivariant homotopy teoría

Question

Estoy tratando de comprender la relación entre cíclico espacios y S¹-equivariant homotopy teoría. Más precisamente, lo único que importa S¹-espacios para la equivalencia de punto fijo espacios para que los subgrupos finitos de S¹. Dado un cíclica espacio X : ΔC^op → Arriba, sé que el geométrica realización de la restricción de X a D^op es una S¹-espacio. Forma asociada punto fijo diagrama O^op → Espacios donde S es el total de la subcategoría de la órbita de la categoría de S¹ en los objetos S¹/C donde C rangos de subgrupos finitos de S¹. Yo lo tengo a la categoría de functors O^op → Espacios como (∞,1)-categoría.

Mi pregunta es, ¿qué tipo de estructura en X ¿el diagrama resultante dependen? Más específicamente, ¿bajo qué condiciones un mapa f : X → Y cíclico de los espacios de inducir una equivalencia de punto fijo diagramas?

En O considerar toda la subcategoría O₁ en el objeto S¹/{•}. La restricción de este diagrama de S₁ es un espacio de S¹-acción en el (∞,1)-categórica sentido, y creo que es la izquierda Kan extensión de X a lo largo de la functor ΔC^op → BS¹ inducida por el hecho de que ΔC es el cociente de algo (ΔZ) por una S¹-acción. Así que sólo depende de X considerarse como un functor de ΔC^op a (∞,1)-categoría de los espacios. Pero para evaluar a los otros objetos de la O, correspondiente al punto fijo en espacios de trivial finito subgrupos de S¹, necesito saber cada X de[r] como un C_r+1 espacio (es decir, la homotopy tipos de los puntos fijos establece para los subgrupos de C_r+1)? Es allí una manera de codificar toda esa información en un functor de algunos (tal vez (∞,1)-a)categoría a Espacios? O es posible que sea necesario que yo recuerde, incluso más información acerca de X?

Edit: supongo que de otra manera la frase de la pregunta es esta: estoy buscando un modelo de estructura de categorías en la categoría de functors ΔC^op → parte Superior, de tal manera que la identidad functor a la inyectiva estructura del modelo es una izquierda Quillen functor, y tales que la geometría realización genuina S¹-espacios es también una izquierda Quillen functor. Además me gustaría saber si este modelo de estructura de categorías es Quillen equivalente a un diagrama de la categoría de espacios (posiblemente en un índice topológico categoría) con objectwise débil equivalencias.

Answer 1

No sé si esto es exactamente lo que estás buscando (y hay una buena probabilidad de que usted ya sabe lo que voy a escribir) pero te voy a dar una oportunidad:

La realización functor cíclico de conjuntos (no espacios!) a $S^1$-espacios puede ser parte de un Quillen la equivalencia de dos de los tres comúnmente modelo deseado estructuras en $S^1$espacios: El modelo de estructura que le da "Espacios de más de $BS^1$" se da en 1985 con papel de Dwyer-Hopkins-Kan, mientras que un modelo de estructura que le da las equivalencias que desee (es decir, comprueba fijo se establece para finito de los subgrupos) es dado en 1995 el papel de "Fuerte homotopy teoría de la cíclico conjuntos" de Jan Spalinksi.

(Irrelevante a tu pregunta, pero a lo largo de la misma línea: Un reciente artículo de Andrew Blumberg se describe cómo se puede tirar en algunos extra-todavía combinatoria--de datos y obtener una combinatoria modelo de la tercera modelo deseable de la estructura en $S^1$-espacios, es decir, donde las equivalencias son los que inducen equivalencias fijo se establece para todos los subgrupos cerrados.)

Spalinksi la estructura del modelo depende de los siguientes construcción de $|X_{.}|^{C_n}$ (como un espacio-sobre-$BS^1$) en términos de la subdivisión de la construcción: El conjunto simplicial $(sd_r X)_n = X_{r(n+1)-1}$ tiene una acción de $C_r$--desde $C_r$ es un subgrupo de la copia de $C_{r(n+1)}$ actuando en $X_{r(n+1)-1}$; tomando puntos fijos (sSet) y, a continuación, darse cuenta de da $|X_{.}|^{C_n}$.

Esto sugiere (aunque no he mirado muy cuidadosamente) que recordar cada una de las $X_n$ $C_{n+1}$- espacio (en el sentido de que sugieren, con subgrupos) es suficiente, como se esperaba.

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Ahora comienza la especulación (y probablemente equivocada) parte de esta respuesta: yo no tengo nada demasiado seguro de que decir acerca de escribir esto como un functor de la categoría, pero no parece demasiado razonable (para mí, ahora mismo, al menos) con base en lo anterior simplicial de la subdivisión de la construcción para que podamos ser capaces de construir un razonable candidato: una especie de mezcla de la cíclico de la categoría y de la órbita de las categorías de los grupos cíclicos. Puramente combinatoria, esto parece complicado.

Pero, creo que podemos darnos cuenta de este geométricamente: Vamos a $(S^1)_r$ ser el círculo equipado con un $\mathbb{Z}$ acción dada por la rotación de las $2\pi/r$. Podríamos intentar definir $Hom'([m-1]_r, [m'-1]_{r'})$ a lo largo de las líneas de "(htpy clases de) grado $r'/r$, aumentando $\mathbb{Z}$-equivariant mapas de $S^1 \to S^1$ el envío de la $mr$-torsión puntos a la $m' r'$-torsión puntos". Este debe corresponder a tomar todas las $r$-cíclico de las categorías y apegarse a ellos, y, en particular, es más grande de lo que nosotros deseamos. Pero, el $\mathbb{Z}$-en la acción de los círculos debe inducir en el $Hom'$-conjuntos y la composición debe respetar. Tomando el cociente, parece que algo que se ve como una razonable candidato. Para cada uno de ellos fijo $r$, se debe conseguir una copia de la cíclico de la categoría. Y, por ejemplo, $Hom([m-1]_r, [mr-1]_1)$ debe contener $Hom_{orbit}(Z/mr, Z/r)$. (Descargo de responsabilidad: Es tarde y no he comprobado nada de esto muy cuidadosamente!)