Cuántas Matrices de existir con el aumento de la fila y el aumento de la columna de condición?

Question

Dado $N$, me gustaría saber el número de la matriz construida a partir de $1$ $N$que satisface la siguiente condición:
1. La cada fila entradas deben estar en orden ascendente.
2. Cada una de las entradas de la columna debe estar en orden creciente.

Por ejemplo: cuando se $N = 4$, hay 4 matriz en la cual se satisfacen esas condiciones:
1. $\left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4\end{array} \right) $
2. $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array} \right) $
3. $\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{array} \right) $
4. $\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4\end{array} \right) $

Mi Observación:
$N$ debe ser un número compuesto para la construcción de una matriz válida
Si una matriz $A$ satisfacer, a continuación, $A^T$ satisface la condición.

Answer 1

Usted debe leer acerca de los Jóvenes Tablau y, específicamente, la Longitud del Gancho de la Fórmula. Usted está preguntando acerca de la cantidad de estándar de Jóvenes tableau de forma rectangular. La longitud del gancho de la fórmula es precisamente lo que usted desea, y es donde la fórmula brogrenkp publicado.

Answer 2

Esto parecía una buena para la OEIS. He buscado en la primera $7$ elementos $(1,2,2,4,2,12,2)$.

http://oeis.org/A067228

Esperemos que esto le ayudará a empezar y puede justificar la fórmula de la $Nth$ plazo que se da en la OEIS por Alois P. Heinz como $N! \sum_{i|N}\left(\prod_{k=0}^{\frac{n}{i}-1}\frac{k!}{(i+k)!}\right)$.