Dada una elipse con focos $F_1, F_2$ y un punto $P$ . Deje que $T_1, T_2$ los puntos de tangencia en la elipse determinados por las líneas tangentes que atraviesan $P$ . Demuestra que $ \widehat {T_1 P F_1} = \widehat {T_2 P F_2}$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Phil Todd
Puntos
19
chenbai
Puntos
5470
Deja la elipse: $$ \dfrac {x^2}{a^2}+ \dfrac {y^2}{b^2}=1$$ Set $P(a,t)$ la línea tangente $PT_1$ es $y=k(x-a)+t$ , $k= \tan A_1$ ya que es una línea tangente, así que en la ecuación de la elipse, tenemos..: $$ b^2x^2+a^2(kx-ka+t)^2=a^2b^2$$ es decir.., $$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2k(t-ka)x+a^2(t-ka)^2-a^2b^2=0$$ Resolviendo el punto de tangencia, el discriminante $ \Delta $ debe ser cero: $$ \Delta $ = $4a^4k^2(t-ka)^2-4(b^2+a^2k^2)[a^2(t-ka)^2-a^2b^2] $$ En $ \Delta =0$ tenemos $ 2kta-t^2+b^2=0$ es decir.., $k= \dfrac {t^2-b^2}{2ta}$ .
Deje que $k_1$ ser $PF_1$ la pendiente de la ciudad, $k_1= \dfrac {t}{a+c}= \tan A_2$ el $ \angle T_1PF_1=|A_1-A_2|$ ahora calculamos $ \tan (A_1-A_2)$ :
$$ \tan (A_1-A_2)= \dfrac { \tan A_1- \tan A_2}{1+ \tan A_1 \tan A_2}= \dfrac {k-k_1}{1+k k_1}= \dfrac { \dfrac {t^2-b^2}{2ta}- \dfrac {t}{a+c}}{1+ \dfrac {t^2-b^2}{2ta} \dfrac {t}{a+c}}= \dfrac {(t^2-b^2)(a+c)-2at^2}{2at^2+2act+t^3-tb^2}$$
Desde $b^2=a^2-c^2$ que tenemos:
$$ RHS= \dfrac {(t^2-a^2+c^2)(a+c)-2at^2}{t(2a^2+2ac+t^2-a^2+c^2)}= \dfrac {c-a}{t}$$
Deje que $k_2$ ser la línea $PF_2$ de la pendiente de la ciudad, entonces $k_2= \dfrac {t}{a-c}= \tan\angle PF_2T_2$ . Desde $ \angle T_2PF_2= \dfrac { \pi }{2}- \angle PF_2T_2$ así que $ \tan \angle T_2PF_2= \dfrac {1}{ \tan\angle PF_2T_2}= \dfrac {a-c}{t}= \tan (A_2-A_1)$ . Ya que los ángulos son agudos, lo hemos hecho:
$ \angle T_2PF_2=A_2-A_1= \angle T_1PF_1$
