Calcula $\lim_{s\to 0} \left(\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}\right)^{1/s}$

Question

Calcula $$\lim_{s\to 0} \left(\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}\right)^{1/s}$$

Este es un problema que se me ocurrió estos días y creo que conozco una forma aunque no
completamente justificado. Esto es lo que tengo

En primer lugar, tome el registro $$\lim_{s\to 0} \frac{\ln\left(\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}\right)}{s}\space \text{(Unjustified part where considering the numerator tends to 0) }$$ y luego aplicar la regla de l'Hôpital $$\lim_{s\to 0} \frac{\displaystyle \frac{d}{ds}\ln\left(\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}\right)}{\displaystyle \frac{d}{ds}s}\space=$$ $$\lim_{s\to 0} \frac{\displaystyle \frac{d}{ds} \left(\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}\right)}{\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}}\space=$$ y ahora diferenciar bajo el signo integral $$\lim_{s\to 0} \frac{\displaystyle \int_0^1 \frac{d}{ds}(\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}}{\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}}\space=$$ $$\lim_{s\to 0} \frac{\displaystyle \int_0^1 (\Gamma (x))^s \ln (\Gamma(x))\space\mathrm{dx}}{\int_0^1 (\Gamma (x))^s\space\mathrm{dx}}\space=$$ $$\int_0^1 \ln (\Gamma(x))\space\mathrm{dx} \space \text{(Unjustified - I considered $ \lim_{s\\\\a0} \int_0^1 (\Gamma (x))^s=1 $ ) }$$ En este punto he terminado ya que sabemos calcular $\int_0^1 \ln (\Gamma(x))\space\mathrm{dx}$ . Así, para
la parte problemática que logré dividir $$\lim_{s\to 0} \int_0^1 (\Gamma (x))^s \mathrm{dx}$$ en $$\lim_{s\to 0} \left(\int_0^{\epsilon} (\Gamma (x))^s \mathrm{dx}+\int_{\epsilon}^{1} (\Gamma (x))^s \mathrm{dx}\right)$$ y luego estoy pensando en utilizar la convergencia uniforme para la primera integral
para demostrar que tiende a $0$ . ¿Estoy en el camino correcto? ¿Qué me sugiere?
¿que haga más? ¿Enfocaría el problema de otra manera?
Gracias.

Answer 1

Consulte mi respuesta aquí para encontrar una prueba de lo siguiente:

Si $\mu$ es una medida positiva en un espacio $X$ , $\mu(X) = 1$ y $\|f\|_p$ es finito para algún $p$ entonces: $$ \lim_{p \to 0} \|f\|_{p} = \exp\left(\int_X \log|f| \,d\mu\right) $$

Mathematica sugiere que $\|\Gamma\|_{1/2}$ es finito, pero aún no lo he demostrado. ( Editar: Véase el comentario de @DavidMoews más abajo para comprobarlo).

Consulte esta respuesta aquí para encontrar eso:

$$ \int_0^1 \log \Gamma(x) \,dx = \dfrac{1}{2}\log(2\pi) $$

Y concluir que el límite que se busca es $\sqrt{2\pi}$ .

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\lim_{s \to 0}\bracks{\int_{0}^{1} \Gamma^{\large\, s}\pars{x}\dd x}^{1/s}} \\[5mm] = &\ \root{2\pi}\lim_{s \to 0}\braces{\int_{0}^{1} \bracks{{\pars{x + 1}!} \over \root{2\pi}x\pars{x + 1}}^{s}\dd x}^{1/s} \end{align} Sin embargo, con la La desigualdad de Robbins , $$ \int_{0}^{1}\varphi_{-}^{s}\pars{x}\dd x < \int_{0}^{1} \bracks{{\pars{x + 1}!} \over \root{2\pi}x\pars{x + 1}}^{s}\dd x < \int_{0}^{1}\varphi_{+}^{s}\pars{x}\dd x $$ \begin{align} & \mbox{where} \\[1mm] & \left\{\begin{array}{lcl} \ds{\varphi_{-}\pars{x}} & \ds{\equiv} & \ds{{\pars{x + 1}^{\pars{x + 1/2}} \over x} \exp\pars{-\bracks{x + 1 - {1 \over 12x + 13}}}} \\[3mm] \ds{\varphi_{+}\pars{s}} & \ds{\equiv} & \ds{{\pars{x + 1}^{\pars{x + 1/2}} \over x} \exp\pars{-\bracks{x + 1 - {1 \over 12x + 12}}}\,\dd x} \end{array} \derecha. \Fin

---

Numéricamente, se sugiere que $$ \lim_{s \to 0}\bracks{\int_{0}^{1} \varphi_{\pm}^{\large\, s}\pars{x}\dd x}^{\large 1/s} = {\large 1}\qquad \substack{% \mbox{which will show that} \\[2mm] \mbox{the coveted limit is}\ \ds{\large\root{2\pi}}} $$ No tenemos una prueba analítica Sin embargo, !!!.