Es $x^3-9$ irreducible sobre los enteros mod 31?
Sé que un método es comprobar si tiene o no raíces, pero eso resulta muy tedioso en este caso.
Entonces, ¿hay algún otro método más sencillo para averiguarlo?
Respuestas
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Per Hornshøj-Schierbeck
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El grupo multiplicativo del campo finito $F_{31}=\mathbf{Z}/31\mathbf{Z}$ es cíclico de orden 30. Por lo tanto, el no es cero cubos forman un subgrupo cíclico de orden 10. Ese subgrupo está formado por todos los elementos de orden que dividen a diez, por lo que sólo hay que comprobar, si $9^{10}\equiv 1\pmod{31}$ o no. Dejando eso a tu criterio.
Joy Gardenia
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Consideremos G = Z/31Z ,el grupo de elementos no nulos de Z/31Z bajo multiplicación. Se trata de un grupo cíclico de orden 30. El mapa $\Phi: G \to G$ definido por $\Phi(x) = x^3$ es un homomorfismo. Así que necesitamos saber si 9 está contenido en la imagen de Φ. Nótese que el núcleo de $\Phi$ es el único subgrupo de orden 3 en G. Así que la imagen tiene orden 30/3 = 10. Así que necesitamos saber si el 9 está en el subgrupo de orden 10. Ahora calculamos el orden de 9 en G. Observa $9^2 \equiv 81 \equiv 19 \equiv -12 \pmod {31}$ . Así que $9^3 \equiv 9(-12)=108 \equiv -15 \pmod {31}$ . Entonces 9 no tiene orden 3. También $9^5 = 9^2 * 9^3 \equiv (-12)(-15)=180 \equiv -6 \pmod {31}$ . Así que el 9 no tiene orden 5. También $9^10 = 9^5 * 9^5 \equiv (-6)^2 =36 \equiv 5 \pmod {31}$ . Entonces 9 no tiene orden 10. Por lo tanto no puede estar en el subgrupo de orden 10.
Lubin
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Para trabajar con un primo pequeño como $31$ no es en absoluto tedioso. Basta con empezar con algún número entero positivo y escribir sus potencias sucesivamente, reduciendo en módulo $31$ cada vez. Con suerte, habrás elegido un residuo primitivo, y obtendrás todo $30$ residuos no nulos. Así se obtiene una tabla de logaritmos para la multiplicación módulo $31$ . Usted ve inmediatamente que $2$ no es una buena opción, ya que $2^5\equiv1\pmod{31}$ . Prueba con $3$ Los poderes son $1$ , $3$ , $9$ , $27$ , $19$ , $26$ , $16$ etc. Con la lista completa, verá que $9$ no es un cubo, por lo que el polinomio es efectivamente irreducible (polinomio cúbico sin raíz). Con tu lista delante, puedes hacer todo tipo de cálculos multiplicativos sin apenas pensar, por ejemplo encontrar una potencia alta de cualquier residuo.
