Grupo como producto de subconjuntos

Question

Hay una muy simple resultado de que los estados que

para un grupo finito $G$ y dos subconjuntos $A, B$ con $$|A| + |B| > |G|,$$ any $g \in G$ has a representation $g = a*b$ with $\en$, $b \in B$.

Para demostrar esto, basta considerar que los conjuntos de $A$ $gB^{-1} = \{gb^{-1} : b \in B\}$ no puede ser distinto.

Esto implica inmediatamente que cada número modulo de un primer $p$ es la suma de dos cuadrados:

deje $G = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$A = B = \{x^2 : x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\}$.

Mi pregunta: ¿este resultado ser ampliado de manera significativa a los productos de tres o más subconjuntos? Estoy interesado en las representaciones de mod $p$ como sumas de cubos y los poderes superiores.

La más obvia (para mí) la generalización de

para un grupo finito $G$ y tres subconjuntos $A, B, C$ con $$|A| + |B| + |C| > |G|,$$ any $g \in G$ has a representation $g = a*b*c$ with $\en$, $b \B$, $c \in C$.

es claramente falso: solo tome $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$A = B = C = 0$.

Answer 1

Para cada $k$, cada número modulo de un primer $p$ es la suma de dos $k$th poderes, si $p$ es lo suficientemente grande (como una función de la $k$). Hay una larga lista de nombres asociados con este resultado, y con el hallazgo más simples pruebas o con cada vez mejor de los límites para la $p$. Algo de la historia se da en Ribenboim del 13 de Conferencias sobre el Último Teorema de Fermat (para ser precisos, en la Conferencia XII, Fermat Congreunce). Ribenboim sólo está interesado en la expresión de una $k$th poder como una suma de dos $k$th poderes, pero muchos de los argumentos no hacen indispensable el uso de la suposición de que la suma es ser un $k$th poder.