Se puede demostrar que $$ \mathcal{D}=\{|A|>1 : \sin(A^n) \textrm{ diverges.}\} $$ es denso. (Conjeturo que $\mathcal{C}=\{|A|>1: \sin(A^n) \textrm{ converges.}\} $ tiene medida cero, no sé cómo tratar con exponenciales complejos ---> ahora sí lo sé).
Esto se deduce de un resultado sobre la equidistribución:
Para los números reales $\theta>1$ se muestra en Koksma's papel que $\theta^n$ está equidistribuido módulo $1$ para casi todos los $\theta>1$ . Equidistribución módulo $2\pi$ es sólo una pequeña modificación de Satz 2 en el papel.
Entonces la densidad de $\mathcal{D}$ se desprende de la consideración de $A=re^{i\pi\frac{k}{m}}$ para $k,m$ enteros fijos. De hecho $A^{2mn}=(r^{2m})^n$ y para casi todos los $r^{2m}>1$ , $(r^{2m})^n$ está equidistribuido módulo $2\pi$ .
Un resultado más fuerte de lo anterior (en términos de término de error) se muestra en El documento de Leveque .
Edición: Prueba de mi conjetura
Dejemos que $A=re^{i \theta}$ Así que $A^n=r^ne^{in\theta}$ . Supongamos que $\theta\neq k\pi$ para cualquier número entero $k$ . Entonces hay una subsecuencia $n_j$ para $j=1,2,\cdots$ tal que $$\sin n_j\theta >\frac 12 \ \ \textrm{ for all }j. $$
Ahora, $$\sin A^n = \frac{e^{-r^n\sin n\theta}e^{i r^n\cos n\theta}-e^{r^n\sin n\theta}e^{-i r^n\cos n\theta}}{2i}$$
Desde $|v-w|\geq ||v|-|w||$ para cualquier complejo $v, w$ ,
$$|\sin A^{n_j}|\geq \frac{1}{2} \left|e^{r^{n_j}\sin n_j\theta}-e^{-r^{n_j}\sin n_j\theta}\right| $$
Desde $r>1$ , lo anterior $\rightarrow\infty$ comme $j\rightarrow\infty$ .
Por lo tanto, si $A=re^{i\theta}$ con $\theta \neq\pi \textrm{ mod }2\pi$ , entonces la secuencia $\sin A^n$ diverge. Esto demuestra mi conjetura. $$\mathcal{C}\textrm{ has measure zero.}$$
Además, vemos que $\mathcal{C}\subset \mathbb{R}$ y tiene medida cero para la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ .
Edición2 Por fin he encontrado referencias que solucionan parcialmente tu problema.
Pisot et Kawapisz
Tenemos (1) de Pisot, (2) de Kawapisz.
(1) Si un número real $\lambda$ es trascendental, entonces la serie $$ \sum_{n=0}^{\infty} \sin^2 (\pi\lambda x^n)$$ es divergente para todo $x\geq 1$ .
(2) Si $x$ es algebraico, y existe $\lambda\neq 0$ tal que $$\sin (\pi\lambda x^n)$$ converge a $0$ entonces $\lambda \in \mathbb{Q}(x)$ .
Con $\lambda=1/\pi$ no existe ningún número real $x\geq 1$ tal que $$ \sum_{n=0}^{\infty} \sin^2 x^n$$ converge.
Por lo tanto, la conclusión parcial de su problema es:
La serie $$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \sin(x^{-n})$$ converge absolutamente si y sólo si si $|x|>1$ . Si $|x|<1$ et $x$ es algebraica, entonces la serie no converge.
Sin embargo, si existe o no un número real $x>1$ tal que $\sin x^n$ converge, está abierto. Lo que sabemos hasta ahora es: si $x>1$ algebraico entonces $\sin x^n$ no converge a $0$ .
