Si $I$ es un ideal finitamente generado de $A[X]$ es $I\cap A$ necesariamente generada finitamente para un anillo unital conmutativo $A$ ?

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con $1$ y $A[X]$ el anillo de polinomios en una variable sobre $A$ . Supongamos que $I$ es un ideal finitamente generado de $A[X]$ . Mi pregunta es

Es $I\cap A$ ¿se genera necesariamente de forma finita?

(Si $A$ tiene divisores cero, ni siquiera pude demostrar que si $I=(f)$ es principal, entonces $I\cap A$ está generada finitamente).

Answer 1

Un contraejemplo: Sea $f = tX-1$ , donde $t \in A$ . Dado $g = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in A[X]$ , entonces $fg = -a_0 +(ta_0-a_1)X + \ldots +(ta_{n-1}-a_n)X^n +(ta_n) X^{n+1}$ . Así, $a \in A$ es $fg$ para algunos $g$ si y sólo si hay $a_0,\ldots, a_n \in A$ tal que $a = -a_0$ , $a_1 = ta_0$ , ..., $a_n = ta_{n-1}$ , $0 = ta_n$ . Esto equivale a $t^{n+1}a = 0$ . Así, $A \cap (f) = \bigcup_{n=1}^\infty\mathrm{Ann}_A(t^n)$ . Ahora basta con encontrar un ejemplo de $A$ y $t \in A$ tal que $\bigcup_{n=1}^\infty\mathrm{Ann}_A(t^n)$ no está generada finitamente.

Dejemos que $K$ sea un campo; para cada $i \in \mathbb{N}$ dejar $A_i = K[T]/(T^i)$ y que $t_i \in A_i$ sea la imagen de $T$ . Entonces $\mathrm{Ann}_{A_i}(t_i^n)$ es $A_i$ , si $n \ge i$ y un ideal propio de $A_i$ , si $n < i$ . Sea $$A = \prod_{i=1}^\infty A_i = \{(a_1,a_2, \ldots) \| a_i \in A_i, \ i = 1, 2, \ldots \}$$ (con adición y multiplicación por coordenadas) y que $t = (t_1, t_2, \ldots) \in A$ . Entonces $\mathrm{Ann}_A(t^n) = \prod_{i=1}^\infty \mathrm{Ann}_{A_i}(t_i^n)$ . Claramente $\mathrm{Ann}_A(t^{n-1}) \subset \mathrm{Ann}_A(t^{n})$ por cada $n$ , y la inclusión es estricta, porque ambos lados tienen proyecciones distintas en la $n$ - en una coordenada. Si $\bigcup_{n=1}^\infty\mathrm{Ann}_A(t^n)$ fueron generados finitamente, tendríamos $\bigcup_{n=1}^\infty\mathrm{Ann}_A(t^n) = \mathrm{Ann}_A(t^k)$ para algunos $k$ (tal que el lado derecho contiene los generadores). Una contradicción.